الجبر الأمثلة

$x^{2} - 9 y^{3} = \ln (y)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 9 y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 9 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$2 x - 9 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x - 9 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} y')$

خطوة 2.2.4

اضرب $3$ في $- 9$ .

$2 x - 27 y^{2} y'$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 27 y^{2} y' + 2 x$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{y}$ و $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- 27 y^{2} y' + 2 x = \frac{y'}{y}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $y$ .

$(- 27 y^{2} y' + 2 x) y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $(- 27 y^{2} y' + 2 x) y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 27 y^{2} y' y + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

انقُل $y$ .

$- 27 (y \cdot y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$- 27 (y^{1} y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 27 y^{1 + 2} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$- 27 y^{3} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.1.1.3

انقُل $y^{3}$ .

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = y'$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $y'$ من كلا المتعادلين.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y - y' = 0$

خطوة 5.3.2

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$- 27 y' y^{3} - y' = - 2 x y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $- 27 y' y^{3} - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $- 27 y' y^{3}$ .

$y' (- 27 y^{3}) - y' = - 2 x y$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 27 y^{3} - 1) = - 2 x y$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $- 27 y^{3}$ بالصيغة ${(- 3 y)}^{3}$ .

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1) = - 2 x y$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1^{3}) = - 2 x y$

خطوة 5.3.6

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = - 3 y$ و $b = 1$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3 y)}^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

خطوة 5.3.7

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- 3 y$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3)}^{2} y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

خطوة 5.3.7.1.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

خطوة 5.3.7.1.3

اضرب $- 3$ في $1$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1^{2})) = - 2 x y$

خطوة 5.3.7.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)) = - 2 x y$

خطوة 5.3.7.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$

خطوة 5.3.8

اقسِم كل حد في $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ على $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.1

اقسِم كل حد في $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ على $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3 y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $9 y^{2} - 3 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 y$ .

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.3.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1 (1)) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 y) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{- (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.3.5.1

أعِد كتابة $- (3 y + 1)$ بالصيغة $- 1 (3 y + 1)$ .

$y' = - \frac{2 x y}{- 1 (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.3.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - - \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.3.5.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 5.3.8.3.5.4

اضرب $\frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$ في $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$