الجبر الأمثلة

$y = \tan^{-1} (\sqrt{x})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}}))$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \tan^{-1} (y)$ و $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\tan^{-1} (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.3

بسّط.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 4.12

اضرب $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 4.13

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} x'$

خطوة 4.14

اجمع $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$ و $x'$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$

خطوة 6.2

اضرب كلا الطرفين في $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

خطوة 6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

بسّط $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

خطوة 6.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

خطوة 6.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

خطوة 6.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

خطوة 6.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

خطوة 6.3.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

بسّط $1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.1

اضرب $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ في $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$

خطوة 6.3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

خطوة 6.3.2.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

خطوة 6.3.2.1.4

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.4.1

انقُل $x$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.4.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1.4.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.3.2.1.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2.1.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

خطوة 6.3.2.1.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

خطوة 6.3.2.1.4.5

أضف $2$ و $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 7

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$