الجبر الأمثلة

$f (x) = 6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{6}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{6}$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$6 {(\frac{7}{2})}^{4} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = \frac{7}{2}$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$6 \frac{7^{4}}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.2

ارفع $7$ إلى القوة $4$ .

$6 \frac{2401}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$6 (\frac{2401}{16}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 (3) \frac{2401}{16} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{2401}{8}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.5

اجمع $3$ و $\frac{2401}{8}$ .

$\frac{3 \cdot 2401}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.6

اضرب $3$ في $2401$ .

$\frac{7203}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.7

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{7^{3}}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.8

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{343}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.9

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 (\frac{343}{8}) - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.10

اضرب $- 21 (\frac{343}{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.10.1

اجمع $- 21$ و $\frac{343}{8}$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 21 \cdot 343}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.10.2

اضرب $- 21$ في $343$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.12

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.13

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{49}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.14

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 (\frac{49}{4}) + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.15

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.15.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 (- 1) \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.15.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.15.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 1 \cdot 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.16

اضرب $- 1$ في $49$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

خطوة 4.1.17

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.17.1

أخرِج العامل $2$ من $24$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 (12) \frac{7}{2} - 35$

خطوة 4.1.17.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 \cdot 12 \frac{7}{2} - 35$

خطوة 4.1.17.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 12 \cdot 7 - 35$

خطوة 4.1.18

اضرب $12$ في $7$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 84 - 35$

خطوة 4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 49 + 84 - 35 + \frac{7203 - 7203}{8}$

خطوة 4.2.2

اطرح $7203$ من $7203$ .

$- 49 + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

خطوة 4.3

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اكتب $- 49$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{- 49}{1} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

خطوة 4.3.2

اضرب $\frac{- 49}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49}{1} \cdot \frac{8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

خطوة 4.3.3

اضرب $\frac{- 49}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

خطوة 4.3.4

اكتب $84$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} - 35 + \frac{0}{8}$

خطوة 4.3.5

اضرب $\frac{84}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} \cdot \frac{8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

خطوة 4.3.6

اضرب $\frac{84}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

خطوة 4.3.7

اكتب $- 35$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} + \frac{0}{8}$

خطوة 4.3.8

اضرب $\frac{- 35}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{0}{8}$

خطوة 4.3.9

اضرب $\frac{- 35}{1}$ في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35 \cdot 8}{8} + \frac{0}{8}$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 49 \cdot 8 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

خطوة 4.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 49$ في $8$ .

$\frac{- 392 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

خطوة 4.5.2

اضرب $84$ في $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 35 \cdot 8}{8}$

خطوة 4.5.3

اضرب $- 35$ في $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 280}{8}$

خطوة 4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أضف $- 392$ و $672$ .

$\frac{280 - 280}{8}$

خطوة 4.6.2

اطرح $280$ من $280$ .

$\frac{0}{8}$

خطوة 4.6.3

اقسِم $0$ على $8$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $\frac{7}{2}$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - \frac{7}{2}$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35}{x - \frac{7}{2}}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(6)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

	$6$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(6)$ في المقسوم عليه $(\frac{7}{2})$ وضَع نتيجة $(21)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 21)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$	$0$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(0)$ في المقسوم عليه $(\frac{7}{2})$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 4)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$	$- 4$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 4)$ في المقسوم عليه $(\frac{7}{2})$ وضَع نتيجة $(- 14)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(24)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(10)$ في المقسوم عليه $(\frac{7}{2})$ وضَع نتيجة $(35)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 35)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$6 x^{3} + 0 x^{2} + (- 4) x + 10$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$6 x^{3} - 4 x + 10$

خطوة 7

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{3} - 4 x + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{3}$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) - 4 x + 10)$

خطوة 7.2

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 10)$

خطوة 7.3

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (5))$

خطوة 7.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5))$

خطوة 7.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x + 5))$

خطوة 8

مثّل كل متعادل بيانيًا. الحل هو قيمة x لنقطة التقاطع.

$x \approx - 1.37173942, \frac{7}{2}$

خطوة 9