الجبر الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} + 7 x^{2} + 98 x + 343$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 7, \pm 49, \pm 343$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 49, \pm \frac{49}{2}, \pm 343, \pm \frac{343}{2}$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$2 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - \frac{7}{2}$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{7}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{3} \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$2 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.3

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$2 (- \frac{343}{2^{3}}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$2 (- \frac{343}{8}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{343}{8}$ إلى بسط الكسر.

$2 (\frac{- 343}{8}) + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$2 \frac{- 343}{2 (4)} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{- 343}{2 \cdot 4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 343}{4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{343}{4} + 7 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.7

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{343}{4} + 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{7}{2}$ .

$- \frac{343}{4} + 7 ({(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 (1 \frac{7^{2}}{2^{2}}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.9

اضرب $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$- \frac{343}{4} + 7 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.10

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 \frac{49}{2^{2}} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.11

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{343}{4} + 7 (\frac{49}{4}) + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.12

اضرب $7 (\frac{49}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.12.1

اجمع $7$ و $\frac{49}{4}$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{7 \cdot 49}{4} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.12.2

اضرب $7$ في $49$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 98 (- \frac{7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.13

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.13.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{7}{2}$ إلى بسط الكسر.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 98 (\frac{- 7}{2}) + 343$

خطوة 4.1.13.2

أخرِج العامل $2$ من $98$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 2 (49) \frac{- 7}{2} + 343$

خطوة 4.1.13.3

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 2 \cdot 49 \frac{- 7}{2} + 343$

خطوة 4.1.13.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} + 49 \cdot - 7 + 343$

خطوة 4.1.14

اضرب $49$ في $- 7$ .

$- \frac{343}{4} + \frac{343}{4} - 343 + 343$

خطوة 4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 343 + 343 + \frac{- 343 + 343}{4}$

خطوة 4.2.2

أضف $- 343$ و $343$ .

$- 343 + 343 + \frac{0}{4}$

خطوة 4.3

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اكتب $- 343$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{- 343}{1} + 343 + \frac{0}{4}$

خطوة 4.3.2

اضرب $\frac{- 343}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343}{1} \cdot \frac{4}{4} + 343 + \frac{0}{4}$

خطوة 4.3.3

اضرب $\frac{- 343}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + 343 + \frac{0}{4}$

خطوة 4.3.4

اكتب $343$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343}{1} + \frac{0}{4}$

خطوة 4.3.5

اضرب $\frac{343}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

خطوة 4.3.6

اضرب $\frac{343}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 343 \cdot 4}{4} + \frac{343 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 343 \cdot 4 + 343 \cdot 4}{4}$

خطوة 4.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 343$ في $4$ .

$\frac{- 1372 + 343 \cdot 4}{4}$

خطوة 4.5.2

اضرب $343$ في $4$ .

$\frac{- 1372 + 1372}{4}$

خطوة 4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أضف $- 1372$ و $1372$ .

$\frac{0}{4}$

خطوة 4.6.2

اقسِم $0$ على $4$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- \frac{7}{2}$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + \frac{7}{2}$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} + 98 x + 343}{x + \frac{7}{2}}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(2)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$

	$2$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(- \frac{7}{2})$ وضَع نتيجة $(- 7)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(7)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$
	$2$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$
	$2$	$0$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(0)$ في المقسوم عليه $(- \frac{7}{2})$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(98)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$
	$2$	$0$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$
	$2$	$0$	$98$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(98)$ في المقسوم عليه $(- \frac{7}{2})$ وضَع نتيجة $(- 343)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(343)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$	$- 343$
	$2$	$0$	$98$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$7$	$98$	$343$
		$- 7$	$0$	$- 343$
	$2$	$0$	$98$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$2 x^{2} + 0 x + 98$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$2 x^{2} + 98$

خطوة 7

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 98$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 (x^{2}) + 98)$

خطوة 7.2

أخرِج العامل $2$ من $98$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot 49)$

خطوة 7.3

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 \cdot 49$ .

$(x + \frac{7}{2}) (2 (x^{2} + 49))$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(2 x^{3} + 7 x^{2}) + 98 x + 343 = 0$

خطوة 8.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x^{2} (2 x + 7) + 49 (2 x + 7) = 0$

خطوة 8.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 7$ .

$(2 x + 7) (x^{2} + 49) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 49 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $2 x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $2 x + 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 7 = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $7$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 7$

خطوة 10.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 7$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 7$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

خطوة 10.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

خطوة 10.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{7}{2}$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 49$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x^{2} + 49$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 49 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 49 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اطرح $49$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 49$

خطوة 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

خطوة 11.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 49}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أعِد كتابة $- 49$ بالصيغة $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

خطوة 11.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (49)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

خطوة 11.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

خطوة 11.2.3.4

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

خطوة 11.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \cdot 7$

خطوة 11.2.3.6

انقُل $7$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 7 i$

خطوة 11.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 7 i$

خطوة 11.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 7 i$

خطوة 11.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 7 i, - 7 i$

خطوة 12

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 x + 7) (x^{2} + 49) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{7}{2}, 7 i, - 7 i$

خطوة 13