الجبر الأمثلة

$\frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{4}$ , $\frac{1}{8}$ , $- \frac{1}{16}$

خطوة 1

هذه متتالية هندسية حيث توجد نسبة مشتركة بين كل حد. في هذه الحالة، ضرب الحد السابق للمتتالية في $- \frac{1}{2}$ يعطينا الحد التالي. بعبارة أخرى، $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

المتتالية الهندسية: $r = - \frac{1}{2}$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة المتتالية الهندسية.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

خطوة 3

عوّض بقيمتَي $a_{1} = \frac{1}{2}$ و $r = - \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1}$

خطوة 4

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n - 1})$

خطوة 4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}})$

خطوة 5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$a_{n} = \frac{1}{2} ({(- 1)}^{n - 1} \frac{1}{2^{n - 1}})$

خطوة 6

اجمع ${(- 1)}^{n - 1}$ و $\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

خطوة 7

اجمع.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2 \cdot 2^{n - 1}}$

خطوة 8

اضرب $2$ في $2^{n - 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $2$ في $2^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1} \cdot 2^{n - 1}}$

خطوة 8.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{1 + n - 1}}$

خطوة 8.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + n - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n + 0}}$

خطوة 8.2.2

أضف $n$ و $0$ .

$a_{n} = \frac{1 {(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

خطوة 9

اضرب ${(- 1)}^{n - 1}$ في $1$ .

$a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{2^{n}}$

خطوة 10

هذه هي القاعدة المُستخدمة لإيجاد مجموع أول $n$ من حدود المتتالية الهندسية. لإيجاد قيمته، أوجِد قيمتَي $r$ و $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

خطوة 11

استبدِل المتغيرات بالقيم المعروفة لإيجاد $S_{4}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- \frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.3

اضرب $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ في $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.5

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.7

اجمع $- 1$ و $\frac{16}{16}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.9.1

اضرب $- 1$ في $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.9.2

اطرح $16$ من $1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 12.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1}$

خطوة 13

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 13.2

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 13.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 13.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1 - 2}{2}}$

خطوة 13.4.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 3}{2}}$

خطوة 13.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{3}{2}}$

خطوة 14

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{3}{2}}$

خطوة 15

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{15}{16} \cdot \frac{2}{3})$

خطوة 16

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 (5)}{16} \cdot \frac{2}{3})$

خطوة 16.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3 \cdot 5}{16} \cdot \frac{2}{3})$

خطوة 16.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{16} \cdot 2)$

خطوة 17

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 (8)} \cdot 2)$

خطوة 17.2

ألغِ العامل المشترك.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

خطوة 17.3

أعِد كتابة العبارة.

$S_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$

خطوة 18

اضرب $\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{5}{8}$ .

$S_{4} = \frac{5}{2 \cdot 8}$

خطوة 18.2

اضرب $2$ في $8$ .

$S_{4} = \frac{5}{16}$