الجبر الأمثلة

$\log_{2} (\sqrt[3]{x}) (x + 1)$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (x + 1)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \log_{2} (x^{\frac{1}{3}})$ و $g (x) = x + 1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 3.4.2

اضرب $\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})$ في $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \log_{2} (x)$ و $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.2

مشتق $\log_{2} (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

خطوة 9.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

خطوة 10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

خطوة 12

اضرب $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 (x^{\frac{1}{3}} \ln (2))}$

خطوة 13

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} \ln (2) x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 14

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اضرب $x^{\frac{1}{3}}$ في $x^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

انقُل $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) \ln (2)}$

خطوة 14.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \ln (2)}$

خطوة 14.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}} \ln (2)}$

خطوة 14.1.4

أضف $2$ و $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}} \ln (2)}$

خطوة 14.1.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{1} \ln (2)}$

خطوة 14.2

بسّط $3 x^{1} \ln (2)$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x \ln (2)}$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + x \frac{1}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

خطوة 15.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{3 x \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{x}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

خطوة 15.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{x}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

خطوة 15.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

خطوة 15.2.3

اضرب $\frac{1}{3 x \ln (2)}$ في $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)} + \frac{1}{3 x \ln (2)}$

خطوة 15.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3 x \ln (2)} + \log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)}$