الجبر الأمثلة

$60 x^{2} - 57 x - 18$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 30, \pm 60$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{1}{15}, \pm \frac{1}{20}, \pm \frac{1}{30}, \pm \frac{1}{60}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{5}, \pm \frac{2}{15}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{5}, \pm \frac{3}{10}, \pm \frac{3}{20}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{5}, \pm \frac{9}{10}, \pm \frac{9}{20}, \pm 18, \pm \frac{18}{5}$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$60 {(- \frac{1}{4})}^{2} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - \frac{1}{4}$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{4}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}) - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{4}$ .

$60 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}) - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$60 (1 \frac{1^{2}}{4^{2}}) - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.3

اضرب $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ في $1$ .

$60 \frac{1^{2}}{4^{2}} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$60 \frac{1}{4^{2}} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.5

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$60 (\frac{1}{16}) - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $60$ .

$4 (15) \frac{1}{16} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.6.2

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$4 \cdot 15 \frac{1}{4 \cdot 4} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cdot 15 \frac{1}{4 \cdot 4} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$15 (\frac{1}{4}) - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.7

اجمع $15$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{15}{4} - 57 (- \frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.8

اضرب $- 57 (- \frac{1}{4})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.8.1

اضرب $- 1$ في $- 57$ .

$\frac{15}{4} + 57 (\frac{1}{4}) - 18$

خطوة 4.1.8.2

اجمع $57$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{15}{4} + \frac{57}{4} - 18$

خطوة 4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 18 + \frac{15 + 57}{4}$

خطوة 4.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $15$ و $57$ .

$- 18 + \frac{72}{4}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم $72$ على $4$ .

$- 18 + 18$

خطوة 4.2.2.3

أضف $- 18$ و $18$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- \frac{1}{4}$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + \frac{1}{4}$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{60 x^{2} - 57 x - 18}{x + \frac{1}{4}}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(60)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$

	$60$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(60)$ في المقسوم عليه $(- \frac{1}{4})$ وضَع نتيجة $(- 15)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 57)$ .

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$
		$- 15$
	$60$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$
		$- 15$
	$60$	$- 72$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 72)$ في المقسوم عليه $(- \frac{1}{4})$ وضَع نتيجة $(18)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 18)$ .

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$
		$- 15$	$18$
	$60$	$- 72$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- \frac{1}{4}$	$60$	$- 57$	$- 18$
		$- 15$	$18$
	$60$	$- 72$	$0$

خطوة 6.7

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$(60) x - 72$

خطوة 6.8

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$60 x - 72$

خطوة 7

أخرِج العامل $12$ من $60 x - 72$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $12$ من $60 x$ .

$(x + \frac{1}{4}) (12 (5 x) - 72)$

خطوة 7.2

أخرِج العامل $12$ من $- 72$ .

$(x + \frac{1}{4}) (12 (5 x) + 12 (- 6))$

خطوة 7.3

أخرِج العامل $12$ من $12 (5 x) + 12 (- 6)$ .

$(x + \frac{1}{4}) (12 (5 x - 6))$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $3$ من $60 x^{2} - 57 x - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أخرِج العامل $3$ من $60 x^{2}$ .

$3 (20 x^{2}) - 57 x - 18 = 0$

خطوة 8.1.2

أخرِج العامل $3$ من $- 57 x$ .

$3 (20 x^{2}) + 3 (- 19 x) - 18 = 0$

خطوة 8.1.3

أخرِج العامل $3$ من $- 18$ .

$3 (20 x^{2}) + 3 (- 19 x) + 3 (- 6) = 0$

خطوة 8.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (20 x^{2}) + 3 (- 19 x)$ .

$3 (20 x^{2} - 19 x) + 3 (- 6) = 0$

خطوة 8.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (20 x^{2} - 19 x) + 3 (- 6)$ .

$3 (20 x^{2} - 19 x - 6) = 0$

خطوة 8.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 20 \cdot - 6 = - 120$ ومجموعهما $b = - 19$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 19$ من $- 19 x$ .

$3 (20 x^{2} - 19 x - 6) = 0$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 19$ في صورة $5$ زائد $- 24$

$3 (20 x^{2} + (5 - 24) x - 6) = 0$

خطوة 8.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (20 x^{2} + 5 x - 24 x - 6) = 0$

خطوة 8.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$3 ((20 x^{2} + 5 x) - 24 x - 6) = 0$

خطوة 8.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$3 (5 x (4 x + 1) - 6 (4 x + 1)) = 0$

خطوة 8.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $4 x + 1$ .

$3 ((4 x + 1) (5 x - 6)) = 0$

خطوة 8.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 (4 x + 1) (5 x - 6) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$5 x - 6 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $4 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $4 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x + 1 = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$4 x = - 1$

خطوة 10.2.2

اقسِم كل حد في $4 x = - 1$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = - 1$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

خطوة 10.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

خطوة 10.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{4}$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $5 x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $5 x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 x - 6 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $5 x - 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$5 x = 6$

خطوة 11.2.2

اقسِم كل حد في $5 x = 6$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 x = 6$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

خطوة 11.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{6}{5}$

خطوة 11.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{6}{5}$

خطوة 12

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $3 (4 x + 1) (5 x - 6) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{1}{4}, \frac{6}{5}$

خطوة 13