الجبر الأمثلة

$y = \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (x) \cos (x))$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = \sin (x)$ و $g (y) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \cos (y)$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

خطوة 3.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x$ .

$\sin (x) (- \sin (x) \frac{d}{d y} [x]) + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

خطوة 3.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

خطوة 3.4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

خطوة 3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

خطوة 3.6

أضف $1$ و $1$ .

$- \sin^{2} (x) \frac{d}{d y} [x] + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \sin (y)$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 3.8.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 3.8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos (x) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x])$

خطوة 3.9

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos (x) \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.10

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.11

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \sin^{2} (x) x' + {\cos (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.12

أضف $1$ و $1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.13

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = - \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$ .

$- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x' = 1$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $- \sin^{2} (x) x' + \cos^{2} (x) x'$ .

$- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x) = 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $x'$ من $- x' \sin^{2} (x) + x' \cos^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $x'$ من $- x' \sin^{2} (x)$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $x'$ من $x' \cos^{2} (x)$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x)) = 1$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $x'$ من $x' (- 1 \sin^{2} (x)) + x' (\cos^{2} (x))$ .

$x' (- 1 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) = 1$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب $- 1 \sin^{2} (x)$ و $\cos^{2} (x)$ .

$x' (\cos^{2} (x) - 1 \sin^{2} (x)) = 1$

خطوة 5.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \cos (x)$ و $b = \sin (x)$ .

$x' ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))) = 1$

خطوة 5.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ على $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 1$ على $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ .

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x) + \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

خطوة 5.6.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

خطوة 5.6.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x) - \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

خطوة 5.6.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$