الجبر الأمثلة

${(x + \frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 1

يمكن عرض مثلث باسكال على النحو التالي:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

يمكن استخدام المثلث لحساب معاملات توسيع ${(a + b)}^{n}$ بأخذ الأُس $n$ وجمع $1$ . ستتوافق المعاملات مع الخط $n + 1$ في المثلث. وبالنسبة إلى ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$ ، $n = 5$ ، لذا ستتوافق معاملات التوسيع مع الخط $6$ .

خطوة 2

التوسيع يتبع القاعدة ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . وتساوي قيم المعاملات، من المثلث، $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

خطوة 3

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a$ $x$ و $b$ $\frac{1}{x}$ في العبارة.

$1 {(x)}^{5} {(\frac{1}{x})}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب ${(x)}^{5}$ في $1$ .

${(x)}^{5} {(\frac{1}{x})}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1^{0}}{x^{0}} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$x^{5} \frac{1}{x^{0}} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$x^{5} \frac{1}{1} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.5

اقسِم $1$ على $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.6

اضرب $x^{5}$ في $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(\frac{1}{x})}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.7

بسّط.

$x^{5} + 5 x^{4} \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.8

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أخرِج العامل $x$ من $5 x^{4}$ .

$x^{5} + x (5 x^{3}) \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{5} + x (5 x^{3}) \frac{1}{x} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 {(x)}^{3} {(\frac{1}{x})}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.9

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x^{3} \frac{1^{2}}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x^{3} \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.11

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.11.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $10 x^{3}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + x^{2} (10 x) \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{5} + 5 x^{3} + x^{2} (10 x) \frac{1}{x^{2}} + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 {(x)}^{2} {(\frac{1}{x})}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.12

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 x^{2} \frac{1^{3}}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.13

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 x^{2} \frac{1}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.14

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $10 x^{2}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{3}} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.14.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{2} x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.14.3

ألغِ العامل المشترك.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + x^{2} \cdot 10 \frac{1}{x^{2} x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.14.4

أعِد كتابة العبارة.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + 10 \frac{1}{x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.15

اجمع $10$ و $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 {(x)}^{1} {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.16

بسّط.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x {(\frac{1}{x})}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.17

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x \frac{1^{4}}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.18

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 x \frac{1}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.19

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.19.1

أخرِج العامل $x$ من $5 x$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x^{4}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.19.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x \cdot x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.19.3

ألغِ العامل المشترك.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + x \cdot 5 \frac{1}{x \cdot x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.19.4

أعِد كتابة العبارة.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + 5 \frac{1}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.20

اجمع $5$ و $\frac{1}{x^{3}}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + 1 {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.21

اضرب ${(x)}^{0}$ في $1$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + {(x)}^{0} {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.22

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + 1 {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.23

اضرب ${(\frac{1}{x})}^{5}$ في $1$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + {(\frac{1}{x})}^{5}$

خطوة 4.24

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{1^{5}}{x^{5}}$

خطوة 4.25

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x^{5} + 5 x^{3} + 10 x + \frac{10}{x} + \frac{5}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}}$