الجبر الأمثلة

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ في صورة معادلة.

$y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = {(\frac{1}{2})}^{y}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${(\frac{1}{2})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{2})}^{y} = x$

خطوة 3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{y}) = \ln (x)$

خطوة 3.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $\ln ({(\frac{1}{2})}^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (\frac{1}{2}) = \ln (x)$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\ln (\frac{1}{2})$ بالصيغة $\ln (1) - \ln (2)$ .

$y (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (x)$

خطوة 3.3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$y (0 - \ln (2)) = \ln (x)$

خطوة 3.3.4

اطرح $\ln (2)$ من $0$ .

$y (- \ln (2)) = \ln (x)$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب العوامل في $y (- \ln (2))$ .

$- y \ln (2) = \ln (x)$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $- y \ln (2) = \ln (x)$ على $- \ln (2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $- y \ln (2) = \ln (x)$ على $- \ln (2)$ .

$\frac{- y \ln (2)}{- \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

خطوة 3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

خطوة 3.5.2.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- \ln (2)}$

خطوة 3.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ هي معكوس $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{2})}^{x})}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{2^{x}})}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{2})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{2^{x}})}{\ln (2)}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = {(\frac{1}{2})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}$

خطوة 5.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

خطوة 5.3.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}}}$

خطوة 5.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{- \log_{2} (x)}}$

خطوة 5.3.4.2

بسّط $- \log_{2} (x)$ بنقل $- 1$ داخل اللوغاريتم.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{2^{\log_{2} (x^{- 1})}}$

خطوة 5.3.4.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

خطوة 5.3.4.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

خطوة 5.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = 1 x$

خطوة 5.3.6

اضرب $x$ في $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{\ln (2)}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$ هي معكوس $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{\ln (2)}$