الجبر الأمثلة

${(z^{2} + 4 z)}^{2} + 7 (z^{2} + 4 z) + 12 = 0$

خطوة 1

لنفترض أن $u = z^{2} + 4 z$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $z^{2} + 4 z$ .

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

خطوة 2

حلّل $u^{2} + 7 u + 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $12$ ومجموعهما $7$ .

$3, 4$

خطوة 2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(u + 3) (u + 4) = 0$

خطوة 3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $z^{2} + 4 z$ .

$(z^{2} + 4 z + 3) (z^{2} + 4 z + 4) = 0$

خطوة 4

حلّل $z^{2} + 4 z + 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $3$ ومجموعهما $4$ .

$1, 3$

خطوة 4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 4 z + 4) = 0$

خطوة 5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 4 z + 2^{2}) = 0$

خطوة 5.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 z = 2 \cdot z \cdot 2$

خطوة 5.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$(z + 1) (z + 3) (z^{2} + 2 \cdot z \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

خطوة 5.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = z$ و $b = 2$ .

$(z + 1) (z + 3) {(z + 2)}^{2} = 0$

خطوة 6

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$z + 1 = 0$

$z + 3 = 0$

${(z + 2)}^{2} = 0$

خطوة 7

عيّن قيمة العبارة $z + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

عيّن قيمة $z + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$z + 1 = 0$

خطوة 7.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$z = - 1$

خطوة 8

عيّن قيمة العبارة $z + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عيّن قيمة $z + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$z + 3 = 0$

خطوة 8.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$z = - 3$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة ${(z + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة ${(z + 2)}^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

${(z + 2)}^{2} = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $z$ في ${(z + 2)}^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

عيّن قيمة $z + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$z + 2 = 0$

خطوة 9.2.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$z = - 2$

خطوة 10

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(z + 1) (z + 3) {(z + 2)}^{2} = 0$ صحيحة.

$z = - 1, - 3, - 2$