الجبر الأمثلة

$y = \ln (x - 2)$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \ln (y - 2)$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln (y - 2) = x$ .

$\ln (y - 2) = x$

خطوة 2.2

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y - 2)} = e^{x}$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\ln (y - 2) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y - 2$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y - 2 = e^{x}$ .

$y - 2 = e^{x}$

خطوة 2.4.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$y = e^{x} + 2$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$ هي معكوس $f (x) = \ln (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\ln (x - 2))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = e^{\ln (x - 2)} + 2$

خطوة 4.2.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x - 2 + 2$

خطوة 4.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 2 + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x + 0$

خطوة 4.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x - 2)) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (e^{x} + 2)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln ((e^{x} + 2) - 2)$

خطوة 4.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(e^{x} + 2) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln (e^{x} + 0)$

خطوة 4.3.3.2

أضف $e^{x}$ و $0$ .

$f (e^{x} + 2) = \ln (e^{x})$

خطوة 4.3.4

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f (e^{x} + 2) = x \ln (e)$

خطوة 4.3.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (e^{x} + 2) = x \cdot 1$

خطوة 4.3.6

اضرب $x$ في $1$ .

$f (e^{x} + 2) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$ هي معكوس $f (x) = \ln (x - 2)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} + 2$