الجبر الأمثلة

$\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$

خطوة 1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 3$

خطوة 2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) = 3$

خطوة 3

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = 3$

خطوة 4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = 3$

خطوة 4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) = 3$

خطوة 5

لإيجاد قيمة $x$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (x^{2} + 2 x)} = e^{3}$

خطوة 6

أعِد كتابة $\ln (x^{2} + 2 x) = 3$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} + 2 x$

خطوة 7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{2} + 2 x = e^{3}$ .

$x^{2} + 2 x = e^{3}$

خطوة 7.2

اطرح $e^{3}$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} + 2 x - e^{3} = 0$

خطوة 7.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 2$ و $c = - e^{3}$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.3

أعِد كتابة $4 + 4 e^{3}$ بالصيغة $2^{2} (1 + e^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.3.2

أخرِج العامل $4$ من $4 e^{3}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (e^{3})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.3.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (1) + 4 (e^{3})$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.3.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.4

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{3} + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.6

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة مجموع مكعبين، $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ حيث $a = 1$ و $b = e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1^{2} - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.7.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.7.2

أعِد كتابة $- 1 e$ بالصيغة $- e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$

خطوة 7.5.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

خطوة 7.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}, - 1 - \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

خطوة 8

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$ صحيحة.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

الصيغة العشرية:

$x = 3.59189905 \dots$