الجبر الأمثلة

$\frac{3 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{3 x}{x^{2} - 2^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 2

لكتابة $\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 3

لكتابة $- \frac{1}{x^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

خطوة 4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + 2) (x - 2) x^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{3 x}{(x + 2) (x - 2)}$ في $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{(x + 2) (x - 2) x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{x^{2}}$ في $\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{(x + 2) (x - 2) x^{2}} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + 2) (x - 2) x^{2}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{x^{2} (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب عوامل $x^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

$\frac{3 x \cdot x^{2}}{x^{2} (x + 2) (x - 2)} - \frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 x \cdot x^{2} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{2 + 1} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{3 x^{3} - (x + 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{3} + (- x - 1 \cdot 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3 x^{3} + (- x - 2) (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.4

وسّع $(- x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{3} - x (x - 2) - 2 (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 2 - 2 (x - 2)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{3 x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.5.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} - x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.5.1.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.5.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 2 x - 2 x + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.5.2

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 0 + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.5.3

أضف $- x^{2}$ و $0$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 4}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$

خطوة 6.6

حلّل $3 x^{3} - x^{2} + 4$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

خطوة 6.6.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

خطوة 6.6.3

عوّض بـ $- 1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $- 1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1

عوّض بـ $- 1$ في متعدد الحدود.

$3 {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 4$

خطوة 6.6.3.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$3 \cdot - 1 - {(- 1)}^{2} + 4$

خطوة 6.6.3.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 - {(- 1)}^{2} + 4$

خطوة 6.6.3.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$- 3 - 1 \cdot 1 + 4$

خطوة 6.6.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 3 - 1 + 4$

خطوة 6.6.3.6

اطرح $1$ من $- 3$ .

$- 4 + 4$

خطوة 6.6.3.7

أضف $- 4$ و $4$ .

$0$

خطوة 6.6.4

بما أن $- 1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x + 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{3 x^{3} - x^{2} + 4}{x + 1}$

خطوة 6.6.5

اقسِم $3 x^{3} - x^{2} + 4$ على $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

خطوة 6.6.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

خطوة 6.6.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

خطوة 6.6.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x^{3} + 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

خطوة 6.6.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

خطوة 6.6.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

خطوة 6.6.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

خطوة 6.6.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 6.6.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 x^{2} - 4 x$

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 6.6.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

خطوة 6.6.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

خطوة 6.6.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

خطوة 6.6.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

خطوة 6.6.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x + 4$

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

خطوة 6.6.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$3 x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

خطوة 6.6.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$3 x^{2} - 4 x + 4$

خطوة 6.6.6

اكتب $3 x^{3} - x^{2} + 4$ في صورة مجموعة من العوامل.

$\frac{(x + 1) (3 x^{2} - 4 x + 4)}{x^{2} (x + 2) (x - 2)}$