الجبر الأمثلة

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط $\frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \log_{5} (405) + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

خطوة 1.1.2

اجمع $\frac{3}{4}$ و $\log_{5} (405)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} + \frac{3}{4} (- \log_{5} (5))$

خطوة 1.1.3

اجمع $\frac{3}{4}$ و $\log_{5} (5)$ .

$\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$

خطوة 2

اضرب كل حد في $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ في $4$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} - \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ في $4$ .

$\log_{5} (3 k + 12) \cdot 4 = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $4$ إلى يسار $\log_{5} (3 k + 12)$ .

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = \frac{3 \log_{5} (405)}{4} \cdot 4 - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

خطوة 2.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - \frac{3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3 \log_{5} (5)}{4}$ إلى بسط الكسر.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

خطوة 2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) + \frac{- 3 \log_{5} (5)}{4} \cdot 4$

خطوة 2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \log_{5} (3 k + 12) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

خطوة 3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $4 \log_{5} (3 k + 12)$ بنقل $4$ داخل اللوغاريتم.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = 3 \log_{5} (405) - 3 \log_{5} (5)$

خطوة 4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

بسّط $3 \log_{5} (405)$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (405^{3}) - 3 \log_{5} (5)$

خطوة 4.1.2

ارفع $405$ إلى القوة $3$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \log_{5} (5)$

خطوة 4.1.3

أساس اللوغاريتم $5$ لـ $5$ هو $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) = \log_{5} (66430125) - 3$

خطوة 5

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$\log_{5} ({(3 k + 12)}^{4}) - \log_{5} (66430125) = - 3$

خطوة 6

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $3$ من $3 k + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 k$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k) + 12)}^{4}}{66430125}) = - 3$

خطوة 7.1.2

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 k + 3 \cdot 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

خطوة 7.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 k + 3 \cdot 4$ .

$\log_{5} (\frac{{(3 (k + 4))}^{4}}{66430125}) = - 3$

خطوة 7.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (k + 4)$ .

$\log_{5} (\frac{3^{4} {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

خطوة 7.3

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{66430125}) = - 3$

خطوة 8

احذِف العامل المشترك لـ $81$ و $66430125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $81$ من $81 {(k + 4)}^{4}$ .

$\log_{5} (\frac{81 ({(k + 4)}^{4})}{66430125}) = - 3$

خطوة 8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $81$ من $66430125$ .

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

خطوة 8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\log_{5} (\frac{81 {(k + 4)}^{4}}{81 \cdot 820125}) = - 3$

خطوة 8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$

خطوة 9

أعِد كتابة $\log_{5} (\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}) = - 3$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$5^{- 3} = \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125}$

خطوة 10

أوجِد قيمة $k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$ .

$\frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 5^{- 3}$

خطوة 10.2

اضرب كلا المتعادلين في $820125$ .

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

خطوة 10.3

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $820125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$820125 \frac{{(k + 4)}^{4}}{820125} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

خطوة 10.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot 5^{- 3}$

خطوة 10.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

بسّط $820125 \cdot 5^{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{5^{3}}$

خطوة 10.3.2.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

${(k + 4)}^{4} = 820125 \cdot \frac{1}{125}$

خطوة 10.3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $125$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1.3.1

أخرِج العامل $125$ من $820125$ .

${(k + 4)}^{4} = 125 (6561) \cdot \frac{1}{125}$

خطوة 10.3.2.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

${(k + 4)}^{4} = 125 \cdot 6561 \cdot \frac{1}{125}$

خطوة 10.3.2.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

${(k + 4)}^{4} = 6561$

خطوة 10.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{6561}$

خطوة 10.5

بسّط $\pm \sqrt[4]{6561}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أعِد كتابة $6561$ بالصيغة $9^{4}$ .

$k + 4 = \pm \sqrt[4]{9^{4}}$

خطوة 10.5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$k + 4 = \pm 9$

خطوة 10.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$k + 4 = 9$

خطوة 10.6.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $k$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$k = 9 - 4$

خطوة 10.6.2.2

اطرح $4$ من $9$ .

$k = 5$

خطوة 10.6.3

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$k + 4 = - 9$

خطوة 10.6.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $k$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.4.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$k = - 9 - 4$

خطوة 10.6.4.2

اطرح $4$ من $- 9$ .

$k = - 13$

خطوة 10.6.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$k = 5, - 13$

خطوة 11

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\log_{5} (3 k + 12) = \frac{3}{4} \cdot (\log_{5} (405) - \log_{5} (5))$ صحيحة.

$k = 5$