الجبر الأمثلة

$\log (x) + \log (2 - x) < 1$

خطوة 1

حوّل التباين إلى تساوٍ.

$\log (x) + \log (2 - x) = 1$

خطوة 2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 - x)) = 1$

خطوة 2.1.2

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\log (x \cdot 2 + x (- x)) = 1$

خطوة 2.1.2.2

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.2.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$\log (2 \cdot x + x (- x)) = 1$

خطوة 2.1.2.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\log (2 \cdot x - x \cdot x) = 1$

خطوة 2.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

انقُل $x$ .

$\log (2 x - (x \cdot x)) = 1$

خطوة 2.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\log (2 x - x^{2}) = 1$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\log (2 x - x^{2}) = 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x - x^{2}$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 x - x^{2} = 10^{1}$ .

$2 x - x^{2} = 10$

خطوة 2.3.2

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$2 x - x^{2} - 10 = 0$

خطوة 2.3.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.3.4

عوّض بقيم $a = - 1$ و $b = 2$ و $c = - 10$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5.1.2.2

اضرب $4$ في $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5.1.3

اطرح $40$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5.1.4

أعِد كتابة $- 36$ بالصيغة $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (36)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5.1.7

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5.1.9

انقُل $6$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{2 \cdot - 1}$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$

خطوة 2.3.5.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 3 i$

خطوة 2.3.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 1 + 3 i, 1 - 3 i$

خطوة 3

أوجِد نطاق $\log (2 x - x^{2}) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\log (2 x - x^{2})$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$2 x - x^{2} > 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$2 x - x^{2} = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$x \cdot 2 - x^{2} = 0$

خطوة 3.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$x \cdot 2 + x (- x) = 0$

خطوة 3.2.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$x (2 - x) = 0$

خطوة 3.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

خطوة 3.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.2.5

عيّن قيمة العبارة $2 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

عيّن قيمة $2 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 - x = 0$

خطوة 3.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 2$

خطوة 3.2.5.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.2.5.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 3.2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.2.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x = 2$

خطوة 3.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (2 - x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

خطوة 3.2.7

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

خطوة 3.2.8

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 3.2.8.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$2 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

خطوة 3.2.8.1.3

الطرف الأيسر $- 8$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 3.2.8.2

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 3.2.8.2.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$2 (1) - {(1)}^{2} > 0$

خطوة 3.2.8.2.3

الطرف الأيسر $1$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 3.2.8.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 3.2.8.3.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$2 (4) - {(4)}^{2} > 0$

خطوة 3.2.8.3.3

الطرف الأيسر $- 8$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 3.2.8.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 0$ خطأ

$0 < x < 2$ صحيحة

$x > 2$ خطأ

$x < 0$ خطأ

$0 < x < 2$ صحيحة

$x > 2$ خطأ

خطوة 3.2.9

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 < x < 2$

خطوة 3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(0, 2)$

خطوة 4

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

خطوة 5

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 5.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$\log (- 2) + \log (2 - (- 2)) < 1$

خطوة 5.1.3

حدد ما إذا كانت المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

لا يمكن حل المعادلة لأنها غير معرّفة.

$غير معرّف$

خطوة 5.1.3.2

الطرف الأيسر ليس له حل، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.2

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1$

خطوة 5.2.2

استبدِل $x$ بـ $1$ في المتباينة الأصلية.

$\log (1) + \log (2 - (1)) < 1$

خطوة 5.2.3

الطرف الأيسر $0$ أصغر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 5.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 5.3.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\log (4) + \log (2 - (4)) < 1$

خطوة 5.3.3

حدد ما إذا كانت المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

لا يمكن حل المعادلة لأنها غير معرّفة.

$غير معرّف$

خطوة 5.3.3.2

الطرف الأيسر ليس له حل، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 0$ خطأ

$0 < x < 2$ صحيحة

$x > 2$ خطأ

$x < 0$ خطأ

$0 < x < 2$ صحيحة

$x > 2$ خطأ

خطوة 6

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 < x < 2$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$0 < x < 2$

ترميز الفترة:

$(0, 2)$

خطوة 8