الجبر الأمثلة

$\frac{n^{2} + 7 n + 6}{n^{2}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6 n^{2}}$

خطوة 1

حلّل $n^{2} + 7 n + 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $6$ ومجموعهما $7$ .

$1, 6$

خطوة 1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6 n^{2}}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$n^{2}, 6, 6 n^{2}$

خطوة 2.2

بما أن $n^{2}, 6, 6 n^{2}$ تحتوي على أعداد ومتغيرات على حدٍّ سواء، فهناك خطوتان لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء العددي $1, 6, 6$ ثم أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $n^{2}, n^{2}$ .

خطوة 2.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.5

$6$ لها العاملان $2$ و $3$ .

$2 \cdot 3$

خطوة 2.6

اضرب $2$ في $3$ .

$6$

خطوة 2.7

عوامل $n^{2}$ هي $n \cdot n$ ، والتي تساوي حاصل ضرب $n$ في بعضها بمعدل $2$ من المرات.

$n^{2} = n \cdot n$

تحدث $n$ بمعدل $2$ من المرات.

خطوة 2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $n^{2}, n^{2}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$n \cdot n$

خطوة 2.9

اضرب $n$ في $n$ .

$n^{2}$

خطوة 2.10

المضاعف المشترك الأصغر لـ $n^{2}, 6, 6 n^{2}$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $6$ في الجزء المتغير.

$6 n^{2}$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6 n^{2}}$ في $6 n^{2}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}} = \frac{1}{6} - \frac{1}{6 n^{2}}$ في $6 n^{2}$ .

$\frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}} (6 n^{2}) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$6 \frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}} n^{2} = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.1.2

اجمع $6$ و $\frac{(n + 1) (n + 6)}{n^{2}}$ .

$\frac{6 ((n + 1) (n + 6))}{n^{2}} n^{2} = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $n^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 ((n + 1) (n + 6))}{n^{2}} n^{2} = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$6 ((n + 1) (n + 6)) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.2

وسّع $(n + 1) (n + 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (n (n + 6) + 1 (n + 6)) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (n \cdot n + n \cdot 6 + 1 (n + 6)) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (n \cdot n + n \cdot 6 + 1 n + 1 \cdot 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

اضرب $n$ في $n$ .

$6 (n^{2} + n \cdot 6 + 1 n + 1 \cdot 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.3.1.2

انقُل $6$ إلى يسار $n$ .

$6 (n^{2} + 6 \cdot n + 1 n + 1 \cdot 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.3.1.3

اضرب $n$ في $1$ .

$6 (n^{2} + 6 n + n + 1 \cdot 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.3.1.4

اضرب $6$ في $1$ .

$6 (n^{2} + 6 n + n + 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.3.2

أضف $6 n$ و $n$ .

$6 (n^{2} + 7 n + 6) = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$6 n^{2} + 6 (7 n) + 6 \cdot 6 = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اضرب $7$ في $6$ .

$6 n^{2} + 42 n + 6 \cdot 6 = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.2.5.2

اضرب $6$ في $6$ .

$6 n^{2} + 42 n + 36 = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

أخرِج العامل $6$ من $6 n^{2}$ .

$6 n^{2} + 42 n + 36 = \frac{1}{6} (6 (n^{2})) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.3.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 n^{2} + 42 n + 36 = \frac{1}{6} (6 n^{2}) - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.3.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 n^{2} + 42 n + 36 = n^{2} - \frac{1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6 n^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{6 n^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$6 n^{2} + 42 n + 36 = n^{2} + \frac{- 1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 n^{2} + 42 n + 36 = n^{2} + \frac{- 1}{6 n^{2}} (6 n^{2})$

خطوة 3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 n^{2} + 42 n + 36 = n^{2} - 1$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $n$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $n^{2}$ من كلا المتعادلين.

$6 n^{2} + 42 n + 36 - n^{2} = - 1$

خطوة 4.1.2

اطرح $n^{2}$ من $6 n^{2}$ .

$5 n^{2} + 42 n + 36 = - 1$

خطوة 4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$5 n^{2} + 42 n + 36 + 1 = 0$

خطوة 4.3

أضف $36$ و $1$ .

$5 n^{2} + 42 n + 37 = 0$

خطوة 4.4

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 5 \cdot 37 = 185$ ومجموعهما $b = 42$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

أخرِج العامل $42$ من $42 n$ .

$5 n^{2} + 42 (n) + 37 = 0$

خطوة 4.4.1.2

أعِد كتابة $42$ في صورة $5$ زائد $37$

$5 n^{2} + (5 + 37) n + 37 = 0$

خطوة 4.4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$5 n^{2} + 5 n + 37 n + 37 = 0$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(5 n^{2} + 5 n) + 37 n + 37 = 0$

خطوة 4.4.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$5 n (n + 1) + 37 (n + 1) = 0$

خطوة 4.4.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $n + 1$ .

$(n + 1) (5 n + 37) = 0$

خطوة 4.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$n + 1 = 0$

$5 n + 37 = 0$

خطوة 4.6

عيّن قيمة العبارة $n + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

عيّن قيمة $n + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$n + 1 = 0$

خطوة 4.6.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$n = - 1$

خطوة 4.7

عيّن قيمة العبارة $5 n + 37$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

عيّن قيمة $5 n + 37$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$5 n + 37 = 0$

خطوة 4.7.2

أوجِد قيمة $n$ في $5 n + 37 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.1

اطرح $37$ من كلا المتعادلين.

$5 n = - 37$

خطوة 4.7.2.2

اقسِم كل حد في $5 n = - 37$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.1

اقسِم كل حد في $5 n = - 37$ على $5$ .

$\frac{5 n}{5} = \frac{- 37}{5}$

خطوة 4.7.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 n}{5} = \frac{- 37}{5}$

خطوة 4.7.2.2.2.1.2

اقسِم $n$ على $1$ .

$n = \frac{- 37}{5}$

خطوة 4.7.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$n = - \frac{37}{5}$

خطوة 4.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(n + 1) (5 n + 37) = 0$ صحيحة.

$n = - 1, - \frac{37}{5}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$n = - 1, - \frac{37}{5}$

الصيغة العشرية:

$n = - 1, - 7.4$

صيغة العدد الذي به كسر:

$n = - 1, - 7 \frac{2}{5}$