الجبر الأمثلة

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{2 y^{2} - 9 y - 5}$

خطوة 1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ ومجموعهما $b = - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $- 9$ من $- 9 y$ .

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{2 y^{2} - 9 (y) - 5}$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة $- 9$ في صورة $1$ زائد $- 10$

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{2 y^{2} + (1 - 10) y - 5}$

خطوة 1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{2 y^{2} + 1 y - 10 y - 5}$

خطوة 1.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{2 y^{2} + y - 10 y - 5}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{(2 y^{2} + y) - 10 y - 5}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{y (2 y + 1) - 5 (2 y + 1)}$

خطوة 1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 y + 1$ .

$\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y - 5, 2 y + 1, (2 y + 1) (y - 5)$

خطوة 2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.5

عامل $y - 5$ هو $y - 5$ نفسها.

$(y - 5) = y - 5$

تحدث $(y - 5)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.6

عامل $2 y + 1$ هو $2 y + 1$ نفسها.

$(2 y + 1) = 2 y + 1$

تحدث $(2 y + 1)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.7

عامل $y - 5$ هو $y - 5$ نفسها.

$(y - 5) = y - 5$

تحدث $(y - 5)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y - 5, 2 y + 1, 2 y + 1, y - 5$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(y - 5) (2 y + 1)$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)}$ في $(y - 5) (2 y + 1)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{2}{y - 5} + \frac{y - 1}{2 y + 1} = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)}$ في $(y - 5) (2 y + 1)$ .

$\frac{2}{y - 5} ((y - 5) (2 y + 1)) + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y - 5} ((y - 5) (2 y + 1)) + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (2 y + 1) + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (2 y) + 2 \cdot 1 + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 y + 2 \cdot 1 + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$4 y + 2 + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((y - 5) (2 y + 1)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

أخرِج العامل $2 y + 1$ من $(y - 5) (2 y + 1)$ .

$4 y + 2 + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (y - 5)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 y + 2 + \frac{y - 1}{2 y + 1} ((2 y + 1) (y - 5)) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 y + 2 + (y - 1) (y - 5) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.6

وسّع $(y - 1) (y - 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y + 2 + y (y - 5) - 1 (y - 5) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y + 2 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 1 (y - 5) = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 y + 2 + y \cdot y + y \cdot - 5 - 1 y - 1 \cdot - 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.7.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$4 y + 2 + y^{2} + y \cdot - 5 - 1 y - 1 \cdot - 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.7.1.2

انقُل $- 5$ إلى يسار $y$ .

$4 y + 2 + y^{2} - 5 \cdot y - 1 y - 1 \cdot - 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.7.1.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$4 y + 2 + y^{2} - 5 y - y - 1 \cdot - 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.7.1.4

اضرب $- 1$ في $- 5$ .

$4 y + 2 + y^{2} - 5 y - y + 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.1.7.2

اطرح $y$ من $- 5 y$ .

$4 y + 2 + y^{2} - 6 y + 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $6 y$ من $4 y$ .

$- 2 y + 2 + y^{2} + 5 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.2.2.2

أضف $2$ و $5$ .

$- 2 y + y^{2} + 7 = \frac{2}{(2 y + 1) (y - 5)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $(y - 5) (2 y + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $(y - 5) (2 y + 1)$ من $(2 y + 1) (y - 5)$ .

$- 2 y + y^{2} + 7 = \frac{2}{(y - 5) (2 y + 1) (1)} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 y + y^{2} + 7 = \frac{2}{(y - 5) (2 y + 1) \cdot 1} ((y - 5) (2 y + 1))$

خطوة 3.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 y + y^{2} + 7 = 2$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود إلى المتعادل الأيسر وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- 2 y + y^{2} + 7 - 2 = 0$

خطوة 4.1.2

اطرح $2$ من $7$ .

$- 2 y + y^{2} + 5 = 0$

خطوة 4.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = 5$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $5$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.1.3

اطرح $20$ من $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.1.4

أعِد كتابة $- 16$ بالصيغة $- 1 (16)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (16)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.1.7

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = \frac{2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.1.9

انقُل $4$ إلى يسار $i$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 \pm 4 i}{2}$

خطوة 4.4.3

بسّط $\frac{2 \pm 4 i}{2}$ .

$y = 1 \pm 2 i$

خطوة 4.5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = 1 + 2 i, 1 - 2 i$