الجبر الأمثلة

$f (x) = x + \sqrt{x}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = x + \sqrt{x}$ في صورة معادلة.

$y = x + \sqrt{x}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = y + \sqrt{y}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y + \sqrt{y} = x$ .

$y + \sqrt{y} = x$

خطوة 3.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{y} = x - y$

خطوة 3.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

خطوة 3.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

بسّط.

$y = {(x - y)}^{2}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط ${(x - y)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

أعِد كتابة ${(x - y)}^{2}$ بالصيغة $(x - y) (x - y)$ .

$y = (x - y) (x - y)$

خطوة 3.4.3.1.2

وسّع $(x - y) (x - y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

خطوة 3.4.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

خطوة 3.4.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

خطوة 3.4.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

خطوة 3.4.3.1.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

خطوة 3.4.3.1.3.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

خطوة 3.4.3.1.3.1.4

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1.4.1

انقُل $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

خطوة 3.4.3.1.3.1.4.2

اضرب $y$ في $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

خطوة 3.4.3.1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

خطوة 3.4.3.1.3.1.6

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

خطوة 3.4.3.1.3.2

اطرح $y x$ من $- x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.2.1

انقُل $y$ .

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

خطوة 3.4.3.1.3.2.2

اطرح $x y$ من $- x y$ .

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

خطوة 3.5.2

اطرح $y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

خطوة 3.5.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.5.4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2 x - 1$ و $c = x^{2}$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.1.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.1.4

أعِد كتابة $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ بالصيغة ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.1.5

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = - 2 x - 1$ و $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1.6.1

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.1.6.2

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.1.6.3

اطرح $1$ من $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.1.6.4

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.1.6.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.1.6.6

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

خطوة 3.5.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.1.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.1.4

أعِد كتابة $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ بالصيغة ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.1.5

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1.6.1

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.1.6.2

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.1.6.3

اطرح $1$ من $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.1.6.4

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.1.6.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.1.6.6

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.6.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

خطوة 3.5.6.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

خطوة 3.5.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.1.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.1.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.1.4

أعِد كتابة $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ بالصيغة ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.1.5

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1.6.1

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.1.6.2

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.1.6.3

اطرح $1$ من $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.1.6.4

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.1.6.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.1.6.6

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 3.5.7.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

خطوة 3.5.7.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

خطوة 3.5.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ هي معكوس $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = x + \sqrt{x}$ و $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اقسِم كل حد في $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

اقسِم كل حد في $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

خطوة 5.3.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

خطوة 5.3.2.1.2.2

اقسِم $- 4 x - 1$ على $1$ .

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

خطوة 5.3.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$- 4 x - 1 \leq 0$

خطوة 5.3.2.2

أضِف $1$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$- 4 x \leq 1$

خطوة 5.3.2.3

اقسِم كل حد في $- 4 x \leq 1$ على $- 4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

اقسِم كل حد في $- 4 x \leq 1$ على $- 4$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

خطوة 5.3.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

خطوة 5.3.2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 4}$

خطوة 5.3.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x \geq - \frac{1}{4}$

خطوة 5.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

خطوة 5.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ لا يساوي مدى $f (x) = x + \sqrt{x}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ ليست معكوس $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 6