الجبر الأمثلة

$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42} \geq 0$

خطوة 1

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

خطوة 2

حلّل $x^{2} - 3 x - 18$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 18$ ومجموعهما $- 3$ .

$- 6, 3$

خطوة 2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 6 = 0$

خطوة 4.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 6$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 5.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 6) (x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = 6, - 3$

خطوة 7

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

خطوة 7.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

خطوة 7.2.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ ومجموعهما $b = 13$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $13$ من $13 u$ .

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

خطوة 7.2.2.2

أعِد كتابة $13$ في صورة $6$ زائد $7$

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

خطوة 7.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

خطوة 7.2.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

خطوة 7.2.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

خطوة 7.2.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

خطوة 8

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

خطوة 9

عيّن قيمة العبارة $- x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة $- x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x + 6 = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 6$

خطوة 9.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 6$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 6$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 9.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 9.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 9.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.3.1

اقسِم $- 6$ على $- 1$ .

$x = 6$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

خطوة 10.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 11

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(- x + 6) (x - 7) = 0$ صحيحة.

$x = 6, 7$

خطوة 12

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = 6, - 3$

$x = 6, 7$

خطوة 13

وحّد الحلول.

$x = 6, - 3, 6, 7$

خطوة 14

أوجِد نطاق $\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

خطوة 14.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.1

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

خطوة 14.2.1.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.2.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

خطوة 14.2.1.2.2

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.2.2.1

أخرِج العامل $13$ من $13 u$ .

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

خطوة 14.2.1.2.2.2

أعِد كتابة $13$ في صورة $6$ زائد $7$

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

خطوة 14.2.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

خطوة 14.2.1.2.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1.2.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

خطوة 14.2.1.2.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

خطوة 14.2.1.2.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

خطوة 14.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

خطوة 14.2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

خطوة 14.2.3

عيّن قيمة العبارة $- x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.3.1

عيّن قيمة $- x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x + 6 = 0$

خطوة 14.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.3.2.1

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 6$

خطوة 14.2.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 6$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 6$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 14.2.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 14.2.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

خطوة 14.2.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.3.2.2.3.1

اقسِم $- 6$ على $- 1$ .

$x = 6$

خطوة 14.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.4.1

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

خطوة 14.2.4.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 14.2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(- x + 6) (x - 7) = 0$ صحيحة.

$x = 6, 7$

خطوة 14.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

خطوة 15

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

خطوة 16

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 16.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 18}{13 (- 6) - {(- 6)}^{2} - 42} \geq 0$

خطوة 16.1.3

الطرف الأيسر $- 0.\overline{230769}$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 16.2

اختبر قيمة في الفترة $- 3 < x < 6$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 3 < x < 6$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 16.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18}{13 (0) - {(0)}^{2} - 42} \geq 0$

خطوة 16.2.3

الطرف الأيسر $0.\overline{428571}$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 16.3

اختبر قيمة في الفترة $6 < x < 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اختر قيمة من الفترة $6 < x < 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6.5$

خطوة 16.3.2

استبدِل $x$ بـ $6.5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{{(6.5)}^{2} - 3 \cdot 6.5 - 18}{13 (6.5) - {(6.5)}^{2} - 42} \geq 0$

خطوة 16.3.3

الطرف الأيسر $19$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 16.4

اختبر قيمة في الفترة $x > 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 10$

خطوة 16.4.2

استبدِل $x$ بـ $10$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{{(10)}^{2} - 3 \cdot 10 - 18}{13 (10) - {(10)}^{2} - 42} \geq 0$

خطوة 16.4.3

الطرف الأيسر $- 4.\overline{3}$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 16.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 3$ خطأ

$- 3 < x < 6$ صحيحة

$6 < x < 7$ صحيحة

$x > 7$ خطأ

$x < - 3$ خطأ

$- 3 < x < 6$ صحيحة

$6 < x < 7$ صحيحة

$x > 7$ خطأ

خطوة 17

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 3 \leq x < 6$ أو $6 < x < 7$

خطوة 18

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$- 3 \leq x < 6 or 6 < x < 7$

ترميز الفترة:

$[- 3, 6) \cup (6, 7)$

خطوة 19