الجبر الأمثلة

$\log (x + y) = \frac{1}{2} (\log (x) + \log (y)) + \log (2)$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\log (x + y) = \frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

خطوة 1.1.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\log (x)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

خطوة 1.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\log (y)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$

خطوة 2

اضرب كل حد في $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ في $2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب كل حد في $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ في $2$ .

$\log (x + y) \cdot 2 = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

انقُل $2$ إلى يسار $\log (x + y)$ .

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

خطوة 2.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

خطوة 2.3.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + \log (2) \cdot 2$

خطوة 2.3.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $\log (2)$ .

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

خطوة 3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بسّط $2 \log (x + y)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

خطوة 4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط $\log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + 2 \log (2)$

خطوة 4.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط $2 \log (2)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (2^{2})$

خطوة 4.1.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (4)$

خطوة 4.1.3

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y \cdot 4)$

خطوة 4.1.4

انقُل $4$ إلى يسار $x y$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (4 x y)$

خطوة 5

لكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن يتساوى المتغير المستقل للوغاريتمات في كلا المتعادلين.

${(x + y)}^{2} = 4 x y$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اطرح $4 x y$ من كلا المتعادلين.

${(x + y)}^{2} - 4 x y = 0$

خطوة 6.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أعِد كتابة ${(x + y)}^{2}$ بالصيغة $(x + y) (x + y)$ .

$(x + y) (x + y) - 4 x y = 0$

خطوة 6.1.2.2

وسّع $(x + y) (x + y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (x + y) + y (x + y) - 4 x y = 0$

خطوة 6.1.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x + x y + y (x + y) - 4 x y = 0$

خطوة 6.1.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x \cdot x + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

خطوة 6.1.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

خطوة 6.1.2.3.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$x^{2} + x y + y x + y^{2} - 4 x y = 0$

خطوة 6.1.2.3.2

أضف $x y$ و $y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.3.2.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$x^{2} + x y + x y + y^{2} - 4 x y = 0$

خطوة 6.1.2.3.2.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = 0$

خطوة 6.1.3

اطرح $4 x y$ من $2 x y$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x y = 0$

خطوة 6.2

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 6.3

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2 y$ و $c = y^{2}$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ بالصيغة ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = - 2 y$ و $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.3.1

أخرِج العامل $2 y$ من $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.3.1.1

أخرِج العامل $2 y$ من $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.1.2

أخرِج العامل $2 y$ من $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.1.3

أخرِج العامل $2 y$ من $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.3

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.3.3.1

اضرب $0$ في $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.3.2

اضرب $0$ في $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.4

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.3.4.1

أخرِج العامل $y$ من $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.4.2

أخرِج العامل $y$ من $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.4.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.5

اضرب $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.5.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.6

اطرح $2$ من $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.3.7.1

اضرب $0$ في $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.3.7.2

اضرب $0$ في $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.4

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.1.6

$2 y$ زائد أو ناقص $0$ يساوي $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

خطوة 6.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

خطوة 6.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 y}{2}$

خطوة 6.4.3.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$x = y$

خطوة 6.5

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = y$ جذور مزدوجة