الجبر الأمثلة

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\log_{12} (4 n^{2})$ .

$\log_{12} (n + 14) + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

خطوة 2

لكتابة $\log_{12} (n + 14)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\log_{12} (n + 14) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\log_{12} (n + 14)$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

خطوة 3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2 + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

خطوة 4

انقُل $2$ إلى يسار $\log_{12} (n + 14)$ .

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

بسّط $2 \log_{12} (n + 14)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2}) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

خطوة 5.1.1.2

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2} (4 n^{2}))}{2} = 2$

خطوة 5.1.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2} = 2$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة $\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ .

$\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2}) = 2$

خطوة 5.1.3

بسّط $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.4

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $4 {(n + 14)}^{2} n^{2}$ .

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 {(n + 14)}^{2}$ .

$\log_{12} (4^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.5.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\log_{12} ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\log_{12} (2^{1} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.7

احسِب قيمة الأُس.

$\log_{12} (2 {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.8

اضرب الأُسس في ${({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.8.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.8.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.8.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.8.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{1} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.9

بسّط.

$\log_{12} (2 (n + 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.10

طبّق خاصية التوزيع.

$\log_{12} ((2 n + 2 \cdot 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.11.1

اضرب $2$ في $14$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

خطوة 5.1.11.2

اضرب الأُسس في ${(n^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.11.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

خطوة 5.1.11.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.11.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

خطوة 5.1.11.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{1}) = 2$

خطوة 5.1.12

بسّط.

$\log_{12} ((2 n + 28) n) = 2$

خطوة 5.1.13

طبّق خاصية التوزيع.

$\log_{12} (2 n \cdot n + 28 n) = 2$

خطوة 5.1.14

اضرب $n$ في $n$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.14.1

انقُل $n$ .

$\log_{12} (2 (n \cdot n) + 28 n) = 2$

خطوة 5.1.14.2

اضرب $n$ في $n$ .

$\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$

خطوة 6

أعِد كتابة $\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$12^{2} = 2 n^{2} + 28 n$

خطوة 7

أوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$ .

$2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$

خطوة 7.2

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$2 n^{2} + 28 n = 144$

خطوة 7.3

اطرح $144$ من كلا المتعادلين.

$2 n^{2} + 28 n - 144 = 0$

خطوة 7.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 n^{2} + 28 n - 144$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 n^{2}$ .

$2 (n^{2}) + 28 n - 144 = 0$

خطوة 7.4.1.2

أخرِج العامل $2$ من $28 n$ .

$2 (n^{2}) + 2 (14 n) - 144 = 0$

خطوة 7.4.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 144$ .

$2 n^{2} + 2 (14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

خطوة 7.4.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 n^{2} + 2 (14 n)$ .

$2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

خطوة 7.4.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72$ .

$2 (n^{2} + 14 n - 72) = 0$

خطوة 7.4.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

حلّل $n^{2} + 14 n - 72$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 72$ ومجموعهما $14$ .

$- 4, 18$

خطوة 7.4.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$2 ((n - 4) (n + 18)) = 0$

خطوة 7.4.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (n - 4) (n + 18) = 0$

خطوة 7.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$n - 4 = 0$

$n + 18 = 0$

خطوة 7.6

عيّن قيمة العبارة $n - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

عيّن قيمة $n - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$n - 4 = 0$

خطوة 7.6.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$n = 4$

خطوة 7.7

عيّن قيمة العبارة $n + 18$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.7.1

عيّن قيمة $n + 18$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$n + 18 = 0$

خطوة 7.7.2

اطرح $18$ من كلا المتعادلين.

$n = - 18$

خطوة 7.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (n - 4) (n + 18) = 0$ صحيحة.

$n = 4, - 18$

خطوة 8

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$ صحيحة.

$n = 4$