الجبر الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2} = x$

خطوة 3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{2} = x$

خطوة 3.3

اطرح $\frac{1}{2}$ من كلا المتعادلين.

$\frac{y^{3}}{2} = x - \frac{1}{2}$

خطوة 3.4

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{y^{3}}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

خطوة 3.5

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{3}}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

خطوة 3.5.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 2 (x - \frac{1}{2})$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

بسّط $2 (x - \frac{1}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{3} = 2 x + 2 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.5.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y^{3} = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 3.5.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 3.5.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = 2 x - 1$

خطوة 3.6

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{2 x - 1}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1}$

خطوة 5.2.7

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

خطوة 5.2.7.2

أضف $x^{3}$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

خطوة 5.2.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\sqrt[3]{2 x - 1})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x - 1})}^{3} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2 x - 1}}^{3}$ بالصيغة $2 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{2 x - 1}$ في صورة ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.1.5

بسّط.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أضف $- \frac{1}{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$