الجبر الأمثلة

$| x - 2 | < \frac{8}{x}$

خطوة 1

اطرح $\frac{8}{x}$ من كلا طرفي المتباينة.

$| x - 2 | - \frac{8}{x} < 0$

خطوة 2

بسّط $| x - 2 | - \frac{8}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $| x - 2 |$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{| x - 2 | x}{x} - \frac{8}{x} < 0$

خطوة 2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x} < 0$

خطوة 2.3

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{| x - 2 | x - 8}{x}$ .

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x} < 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x = 0$

$x | x - 2 | - 8 = 0$

خطوة 4

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x | x - 2 | = 8$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $x | x - 2 | = 8$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $x | x - 2 | = 8$ على $x$ .

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $| x - 2 |$ على $1$ .

$| x - 2 | = \frac{8}{x}$

خطوة 6

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm \frac{8}{x}$

خطوة 7

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x - 2 = \frac{8}{x}$

خطوة 7.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = \frac{8}{x} + 2$

خطوة 7.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, x, 1$

خطوة 7.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x$

خطوة 7.4

اضرب كل حد في $x = \frac{8}{x} + 2$ في $x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب كل حد في $x = \frac{8}{x} + 2$ في $x$ .

$x \cdot x = \frac{8}{x} x + 2 x$

خطوة 7.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

خطوة 7.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

خطوة 7.4.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = 8 + 2 x$

خطوة 7.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 2 x = 8$

خطوة 7.5.2

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

خطوة 7.5.3

حلّل $x^{2} - 2 x - 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 8$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 4, 2$

خطوة 7.5.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

خطوة 7.5.4

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 7.5.5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 7.5.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 7.5.6

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.6.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 7.5.6.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 7.5.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 4) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 4, - 2$

خطوة 7.6

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x - 2 = - \frac{8}{x}$

خطوة 7.7

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = - \frac{8}{x} + 2$

خطوة 7.8

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.8.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$1, x, 1$

خطوة 7.8.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x$

خطوة 7.9

اضرب كل حد في $x = - \frac{8}{x} + 2$ في $x$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.1

اضرب كل حد في $x = - \frac{8}{x} + 2$ في $x$ .

$x \cdot x = - \frac{8}{x} x + 2 x$

خطوة 7.9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.2.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{2} = - \frac{8}{x} x + 2 x$

خطوة 7.9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.9.3.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{8}{x}$ إلى بسط الكسر.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

خطوة 7.9.3.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

خطوة 7.9.3.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = - 8 + 2 x$

خطوة 7.10

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.1

اطرح $2 x$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} - 2 x = - 8$

خطوة 7.10.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

خطوة 7.10.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.10.4

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = 8$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.5.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.1.3

اطرح $32$ من $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.1.4

أعِد كتابة $- 28$ بالصيغة $- 1 (28)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (28)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.1.7

أعِد كتابة $28$ بالصيغة $2^{2} \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.10.5.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.10.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

خطوة 7.10.5.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

خطوة 7.10.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

خطوة 7.11

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

خطوة 8

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = 0$

$x = 4, - 2$

خطوة 9

وحّد الحلول.

$x = 0, 4, - 2$

خطوة 10

أوجِد نطاق $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 10.2

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 11

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

خطوة 12

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 12.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$| (- 4) - 2 | < \frac{8}{- 4}$

خطوة 12.1.3

الطرف الأيسر $6$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 2$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 12.2

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 1$

خطوة 12.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 1$ في المتباينة الأصلية.

$| (- 1) - 2 | < \frac{8}{- 1}$

خطوة 12.2.3

الطرف الأيسر $3$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $- 8$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 12.3

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 12.3.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$| (2) - 2 | < \frac{8}{2}$

خطوة 12.3.3

الطرف الأيسر $0$ أصغر من الطرف الأيمن $4$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 12.4

اختبر قيمة في الفترة $x > 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 12.4.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$| (6) - 2 | < \frac{8}{6}$

خطوة 12.4.3

الطرف الأيسر $4$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $1.\overline{3}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 12.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 2$ خطأ

$- 2 < x < 0$ خطأ

$0 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

$x < - 2$ خطأ

$- 2 < x < 0$ خطأ

$0 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

خطوة 13

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$0 < x < 4$

خطوة 14

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$0 < x < 4$

ترميز الفترة:

$(0, 4)$

خطوة 15