الجبر الأمثلة

$f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ في صورة معادلة.

$y = 2 x^{- \frac{2}{3}}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 2 y^{- \frac{2}{3}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ .

$2 y^{- \frac{2}{3}} = x$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $2 y^{- \frac{2}{3}} = x$ على $2$ .

$\frac{2 y^{- \frac{2}{3}}}{2} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

انقُل $y^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2 y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y^{\frac{2}{3}}, 2$

خطوة 3.3.2

بما أن $y^{\frac{2}{3}}, 2$ تحتوي على أعداد ومتغيرات على حدٍّ سواء، فهناك خطوتان لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر. أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء العددي $1, 2$ ثم أوجِد المضاعف المشترك الأصغر للجزء المتغير $y^{\frac{2}{3}}$ .

خطوة 3.3.3

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 3.3.4

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 3.3.5

بما أن $2$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $2$ .

$2$ هي عدد أولي

خطوة 3.3.6

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 2$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$2$

خطوة 3.3.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{\frac{2}{3}}$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.3.8

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y^{\frac{2}{3}}, 2$ يساوي حاصل ضرب الجزء العددي $2$ في الجزء المتغير.

$2 y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.4

اضرب كل حد في $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$ في $2 y^{\frac{2}{3}}$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} = \frac{x}{2}$ في $2 y^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} (2 y^{\frac{2}{3}}) = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 3.4.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 3.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{y^{\frac{2}{3}}} y^{\frac{2}{3}} = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 3.4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 = \frac{x}{2} (2 y^{\frac{2}{3}})$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 = 2 \frac{x}{2} y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 = 2 \frac{x}{2} y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.4.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 = x y^{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ .

$x y^{\frac{2}{3}} = 2$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $x y^{\frac{2}{3}} = 2$ على $x$ .

$\frac{x y^{\frac{2}{3}}}{x} = \frac{2}{x}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y^{\frac{2}{3}}}{x} = \frac{2}{x}$

خطوة 3.5.2.2.2

اقسِم $y^{\frac{2}{3}}$ على $1$ .

$y^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{x}$

خطوة 3.5.3

ارفع كل متعادل إلى القوة $\frac{3}{2}$ لحذف الأُس الكسري في الطرف الأيسر.

${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.5.4

بسّط الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1

بسّط ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1.1

اضرب الأُسس في ${(y^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.5.4.1.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.5.4.1.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.5.4.1.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.5.4.1.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{1} = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.5.4.1.1.2

بسّط.

$y = \pm {(\frac{2}{x})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 3.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{x}$ .

$y = \pm \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.5.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.5.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 3.5.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ هي معكوس $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ و $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(0, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 5.3.1.2

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{\sqrt{x^{3}}}$

خطوة 5.3.2

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x^{3}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{3} \geq 0$

خطوة 5.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

خطوة 5.3.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 5.3.3.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x \geq 0$

خطوة 5.3.4

عيّن قيمة القاسم في $\frac{\sqrt{2^{3}}}{\sqrt{x^{3}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

خطوة 5.3.5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

خطوة 5.3.5.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{3}}$ في صورة $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

خطوة 5.3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 5.3.5.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

خطوة 5.3.5.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{3} = 0^{2}$

خطوة 5.3.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$x^{3} = 0$

خطوة 5.3.5.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \sqrt[3]{0}$

خطوة 5.3.5.3.2

بسّط $\sqrt[3]{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.3.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

خطوة 5.3.5.3.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$x = 0$

خطوة 5.3.6

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(0, \infty)$

خطوة 5.4

أوجِد نطاق $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

حوّل العبارات ذات الأُسس الكسرية إلى جذور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 5.4.1.2

طبّق القاعدة $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ لإعادة كتابة الأُس في صورة جذر.

$2 \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

خطوة 5.4.2

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

خطوة 5.4.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، كعِّب كلا المتعادلين.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

خطوة 5.4.3.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x^{2}}$ في صورة $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

خطوة 5.4.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 5.4.3.2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

خطوة 5.4.3.2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} = 0^{3}$

خطوة 5.4.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$x^{2} = 0$

خطوة 5.4.3.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 5.4.3.3.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 5.4.3.3.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 5.4.3.3.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.4.4

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5.5

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ هو مدى $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ ومدى $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ هو نطاق $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$ هي معكوس $f (x) = 2 x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 6