الجبر الأمثلة

$10 \sin (\frac{π}{8}) \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{8})$ هي $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $\frac{π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$10 \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2}) \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة الجيب.

$10 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}) \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.3

غيِّر $\pm$ إلى $+$ نظرًا إلى أن دالة الجيب موجبة في الربع الأول.

$10 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.4

بسّط $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$10 \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$10 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$10 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.4.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$10 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.4.5

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.5.1

اضرب $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$10 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.4.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$10 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.4.6

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$10 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.4.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.7.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$10 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 1.4.7.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$10 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$2 (5) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 5 \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot \cos (\frac{7 π}{8})$

خطوة 3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{7 π}{8})$ هي $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\frac{7 π}{8}$ في صورة ناتج قسمة زاوية تُعرف بها قيم الدوال المثلثية الست على $2$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot \cos (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

خطوة 3.2

طبّق متطابقة نصف الزاوية لدالة جيب التمام $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})$

خطوة 3.3

غيِّر $\pm$ إلى $-$ نظرًا إلى أن دالة جيب التمام سالبة في الربع الثاني.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})$

خطوة 3.4

بسّط $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

خطوة 3.4.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

خطوة 3.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

خطوة 3.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

خطوة 3.4.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

خطوة 3.4.6

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

اضرب $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

خطوة 3.4.6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

خطوة 3.4.7

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

خطوة 3.4.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.8.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

خطوة 3.4.8.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \cdot (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

خطوة 4

اضرب $5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$- 5 \sqrt{2 - \sqrt{2}} \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 4.2

اجمع $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ و $- 5$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot - 5}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

خطوة 4.3

اجمع $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot - 5}{2}$ و $\sqrt{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \cdot - 5 \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 4.4

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{- 5 \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2}$

خطوة 4.5

وسّع $(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 5 \sqrt{2 (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2}$

خطوة 4.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 5 \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2}$

خطوة 4.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- 5 \sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2}$

خطوة 4.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2}$

خطوة 4.6.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2}$

خطوة 4.6.1.3

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2}$

خطوة 4.6.1.4

اضرب $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.4.1

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2}$

خطوة 4.6.1.4.2

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2}$

خطوة 4.6.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2}$

خطوة 4.6.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2}$

خطوة 4.6.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

خطوة 4.6.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

خطوة 4.6.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

خطوة 4.6.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2}$

خطوة 4.6.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2}$

خطوة 4.6.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2}$

خطوة 4.6.1.6

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 5 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2}}{2}$

خطوة 4.6.2

اطرح $2$ من $4$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}}{2}$

خطوة 4.6.3

أضف $- 2 \sqrt{2}$ و $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2 + 0}}{2}$

خطوة 4.6.4

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

الصيغة العشرية:

$- 3.53553390 \dots$