الجبر الأمثلة

$y = e^{\frac{x}{2}}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = e^{\frac{y}{2}}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{\frac{y}{2}} = x$ .

$e^{\frac{y}{2}} = x$

خطوة 2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{\frac{y}{2}}) = \ln (x)$

خطوة 2.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

وسّع $\ln (e^{\frac{y}{2}})$ بنقل $\frac{y}{2}$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{y}{2} \ln (e) = \ln (x)$

خطوة 2.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$\frac{y}{2} \cdot 1 = \ln (x)$

خطوة 2.3.3

اضرب $\frac{y}{2}$ في $1$ .

$\frac{y}{2} = \ln (x)$

خطوة 2.4

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \ln (x)$

خطوة 2.5

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y}{2} = 2 \ln (x)$

خطوة 2.5.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 \ln (x)$

خطوة 3

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$ هي معكوس $f (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 4.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 4.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 \ln (e^{\frac{x}{2}})$

خطوة 4.2.3

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $\frac{x}{2}$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

خطوة 4.2.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2} \cdot 1)$

خطوة 4.2.5

اضرب $\frac{x}{2}$ في $1$ .

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

خطوة 4.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = 2 (\frac{x}{2})$

خطوة 4.2.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (e^{\frac{x}{2}}) = x$

خطوة 4.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 4.3.2

احسِب قيمة $f (2 \ln (x))$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (2 \ln (x)) = e^{\frac{2 \ln (x)}{2}}$

خطوة 4.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (2 \ln (x)) = e^{\frac{2 \ln (x)}{2}}$

خطوة 4.3.3.2

اقسِم $\ln (x)$ على $1$ .

$f (2 \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

خطوة 4.3.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (2 \ln (x)) = x$

خطوة 4.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$ هي معكوس $f (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \ln (x)$