الجبر الأمثلة

$f (x) = 1 - 2^{x}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 1 - 2^{x}$ في صورة معادلة.

$y = 1 - 2^{x}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 1 - 2^{y}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 - 2^{y} = x$ .

$1 - 2^{y} = x$

خطوة 3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 2^{y} = x - 1$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $- 2^{y} = x - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $- 2^{y} = x - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- 2^{y}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{2^{y}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.3.2.2

اقسِم $2^{y}$ على $1$ .

$2^{y} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{x}{- 1}$ .

$2^{y} = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot x$ بالصيغة $- x$ .

$2^{y} = - x + \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.3.3.1.3

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$2^{y} = - x + 1$

خطوة 3.4

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (2^{y}) = \ln (- x + 1)$

خطوة 3.5

وسّع $\ln (2^{y})$ بنقل $y$ خارج اللوغاريتم.

$y \ln (2) = \ln (- x + 1)$

خطوة 3.6

اقسِم كل حد في $y \ln (2) = \ln (- x + 1)$ على $\ln (2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اقسِم كل حد في $y \ln (2) = \ln (- x + 1)$ على $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

خطوة 3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

خطوة 3.6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$ هي معكوس $f (x) = 1 - 2^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (1 - 2^{x})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- (1 - 2^{x}) + 1)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 \cdot 1 + 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 + 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.3.1.3

اضرب $- - 2^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 + 1 \cdot 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.3.1.3.2

اضرب $2^{x}$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 + 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $- 1 + 2^{x} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (0 + 2^{x})}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.3.2.2

أضف $0$ و $2^{x}$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.4

وسّع $\ln (2^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

خطوة 5.2.5.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 - 2^{\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}}$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 - 2^{\log_{2} (- x + 1)}$

خطوة 5.3.3.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 - (- x + 1)$

خطوة 5.3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

خطوة 5.3.3.4

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + 1 x - 1 \cdot 1$

خطوة 5.3.3.4.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

خطوة 5.3.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + x - 1$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$ هي معكوس $f (x) = 1 - 2^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$