الجبر الأمثلة

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ ومجموعهما $b = 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

أخرِج العامل $7$ من $7 y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 (y) + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1.1.1.2

أعِد كتابة $7$ في صورة $1$ زائد $6$

$\frac{2 y^{2} + (1 + 6) y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 y^{2} + 1 y + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1.1.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{2 y^{2} + y + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(2 y^{2} + y) + 6 y + 3}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{y (2 y + 1) + 3 (2 y + 1)}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 y + 1$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{y^{3} - 1} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{y^{3} - 1^{3}} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1^{2})} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 1.2.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1}$ في $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - (\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1} \cdot \frac{y - 1}{y - 1}) - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1 - 2 y}{y^{2} + y + 1}$ في $\frac{y - 1}{y - 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - \frac{3}{y - 1}$

خطوة 2.3

اضرب $\frac{3}{y - 1}$ في $\frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - (\frac{3}{y - 1} \cdot \frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1})$

خطوة 2.4

اضرب $\frac{3}{y - 1}$ في $\frac{y^{2} + y + 1}{y^{2} + y + 1}$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y^{2} + y + 1) (y - 1)} - \frac{3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 2.5

أعِد ترتيب عوامل $(y^{2} + y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{(2 y + 1) (y + 3)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{(1 - 2 y) (y - 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)} - \frac{3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(2 y + 1) (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وسّع $(2 y + 1) (y + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 y (y + 3) + 1 (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot 3 + 1 (y + 3) - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 y \cdot y + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

انقُل $y$ .

$\frac{2 (y \cdot y) + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.2.1.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 2 y \cdot 3 + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{2 y^{2} + 6 y + 1 y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $y$ في $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 6 y + y + 1 \cdot 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.2.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 6 y + y + 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.2.2

أضف $6 y$ و $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - (1 - 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 \cdot 1 - (- 2 y)) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 - (- 2 y)) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.5

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 + (- 1 + 2 y) (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.6

وسّع $(- 1 + 2 y) (y - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 (y - 1) + 2 y (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y (y - 1) - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y - 1 \cdot - 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.7.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.7.1.3

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.3.1

انقُل $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.7.1.3.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y^{2} + 2 y \cdot - 1 - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.7.1.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - y + 1 + 2 y^{2} - 2 y - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.7.2

اطرح $2 y$ من $- y$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 (y^{2} + y + 1)}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.8

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3 \cdot 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 4.9

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 y^{2} + 7 y + 3 - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $3$ من $3$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y + 0}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 5.1.2

أضف $2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y$ و $0$ .

$\frac{2 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 + 2 y^{2} - 3 y^{2} - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 5.2

أضف $2 y^{2}$ و $2 y^{2}$ .

$\frac{4 y^{2} + 7 y - 3 y + 1 - 3 y^{2} - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 5.3

اطرح $3 y^{2}$ من $4 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} + 7 y - 3 y + 1 - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 5.4

اطرح $3 y$ من $7 y$ .

$\frac{y^{2} + 4 y + 1 - 3 y}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 5.5

اطرح $3 y$ من $4 y$ .

$\frac{y^{2} + y + 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 5.6

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} + y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y^{2} + y + 1}{(y - 1) (y^{2} + y + 1)}$

خطوة 5.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{y - 1}$