الجبر الأمثلة

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) > 2$

خطوة 1

حوّل التباين إلى تساوٍ.

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

خطوة 2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اكتب بالصيغة الأُسية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بالنسبة إلى المعادلات اللوغاريتمية، $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ حيث إن $x > 0$ و $b > 0$ و $b \neq 1$ . في هذه الحالة، $b = 3$ و $x = {(x - 1)}^{2}$ و $y = 2$ .

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

خطوة 2.1.2

عوّض بقيم $b$ و $x$ و $y$ في المعادلة $b^{y} = x$ .

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 2.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ .

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

خطوة 2.2.2

بما أن الأسس متساوية، إذن يجب أن تكون أساسات الأسس في كلا المتعادلين متساوية.

$| x - 1 | = | 3 |$

خطوة 2.2.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

احذِف حد القيمة المطلقة. يؤدي ذلك إلى وجود $\pm$ على المتعادل الأيمن لأن $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm | 3 |$

خطوة 2.2.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$x - 1 = \pm 3$

خطوة 2.2.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x - 1 = 3$

خطوة 2.2.3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3 + 1$

خطوة 2.2.3.3.2.2

أضف $3$ و $1$ .

$x = 4$

خطوة 2.2.3.3.3

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x - 1 = - 3$

خطوة 2.2.3.3.4

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.3.4.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = - 3 + 1$

خطوة 2.2.3.3.4.2

أضف $- 3$ و $1$ .

$x = - 2$

خطوة 2.2.3.3.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 4, - 2$

خطوة 3

أوجِد نطاق $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\log_{3} ({(x - 1)}^{2})$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

${(x - 1)}^{2} > 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} > \sqrt{0}$

خطوة 3.2.2

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x - 1 | > \sqrt{0}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

بسّط $\sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$| x - 1 | > \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x - 1 | > | 0 |$

خطوة 3.2.2.2.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$| x - 1 | > 0$

خطوة 3.2.3

اكتب $| x - 1 | > 0$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x - 1 \geq 0$

خطوة 3.2.3.2

أضِف $1$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x \geq 1$

خطوة 3.2.3.3

في الجزء الذي يكون فيه $x - 1$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x - 1 > 0$

خطوة 3.2.3.4

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x - 1 < 0$

خطوة 3.2.3.5

أضِف $1$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x < 1$

خطوة 3.2.3.6

في الجزء الذي يكون فيه $x - 1$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- (x - 1) > 0$

خطوة 3.2.3.7

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - (x - 1) > 0 & x < 1 \end{cases}$

خطوة 3.2.3.8

بسّط $- (x - 1) > 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x - - 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

خطوة 3.2.3.8.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x + 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

خطوة 3.2.4

أضِف $1$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$x > 1$

خطوة 3.2.5

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 1 > 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x > - 1$

خطوة 3.2.5.2

اقسِم كل حد في $- x > - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

اقسِم كل حد في $- x > - 1$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.2.5.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 3.2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x < 1$

خطوة 3.2.6

أوجِد اتحاد الحلول.

$x < 1$ أو $x > 1$

خطوة 3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 4

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

خطوة 5

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 5.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$\log_{3} ({((- 4) - 1)}^{2}) > 2$

خطوة 5.1.3

الطرف الأيسر $2.92994704$ أكبر من الطرف الأيمن $2$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 5.2

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 5.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\log_{3} ({((0) - 1)}^{2}) > 2$

خطوة 5.2.3

الطرف الأيسر $0$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $2$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.3

اختبر قيمة في الفترة $1 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اختر قيمة من الفترة $1 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 5.3.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\log_{3} ({((2) - 1)}^{2}) > 2$

خطوة 5.3.3

الطرف الأيسر $0$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $2$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 5.4

اختبر قيمة في الفترة $x > 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 5.4.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$\log_{3} ({((6) - 1)}^{2}) > 2$

خطوة 5.4.3

الطرف الأيسر $2.92994704$ أكبر من الطرف الأيمن $2$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 5.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 1$ خطأ

$1 < x < 4$ خطأ

$x > 4$ صحيحة

$x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 1$ خطأ

$1 < x < 4$ خطأ

$x > 4$ صحيحة

خطوة 6

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x < - 2$ أو $x > 4$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$x < - 2 or x > 4$

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

خطوة 8