الجبر الأمثلة

$\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$

خطوة 1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1}) = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1^{2}}) = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$

خطوة 2

أعِد كتابة $\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ أعداد حقيقية موجبة وكان $b$ $\neq$ $1$ ، فإن $\log_{b} (x) = y$ مكافئة لـ $b^{y} = x$ .

$16^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$

خطوة 3

استخدِم الضرب التبادلي لحذف الكسر.

$9 x + 5 = 16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

خطوة 4

بسّط $16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$9 x + 5 = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

خطوة 4.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

خطوة 4.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

خطوة 4.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$9 x + 5 = 4^{1} ((x + 1) (x - 1))$

خطوة 4.1.4

احسِب قيمة الأُس.

$9 x + 5 = 4 ((x + 1) (x - 1))$

خطوة 4.2

وسّع $(x + 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$9 x + 5 = 4 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

خطوة 4.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

خطوة 4.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

خطوة 4.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

خطوة 4.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

خطوة 4.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

خطوة 4.3.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

خطوة 4.3.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x - 1)$

خطوة 4.3.2

أضف $- x$ و $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + 0 - 1)$

خطوة 4.3.3

أضف $x^{2}$ و $0$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1)$

خطوة 4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$9 x + 5 = 4 x^{2} + 4 \cdot - 1$

خطوة 4.5

اضرب $4$ في $- 1$ .

$9 x + 5 = 4 x^{2} - 4$

خطوة 5

اطرح $4 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$9 x + 5 - 4 x^{2} = - 4$

خطوة 6

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$9 x - 4 x^{2} = - 4 - 5$

خطوة 6.2

اطرح $5$ من $- 4$ .

$9 x - 4 x^{2} = - 9$

خطوة 7

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x - 4 x^{2} + 9 = 0$

خطوة 8

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $- 1$ من $9 x - 4 x^{2} + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد ترتيب $9 x$ و $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 x + 9 = 0$

خطوة 8.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 9 x + 9 = 0$

خطوة 8.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $9 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) + 9 = 0$

خطوة 8.1.4

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $- 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

خطوة 8.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

خطوة 8.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 x^{2} - 9 x) - 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

خطوة 8.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ ومجموعهما $b = - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 9$ من $- 9 x$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

خطوة 8.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 9$ في صورة $3$ زائد $- 12$

$- (4 x^{2} + (3 - 12) x - 9) = 0$

خطوة 8.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- (4 x^{2} + 3 x - 12 x - 9) = 0$

خطوة 8.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- ((4 x^{2} + 3 x) - 12 x - 9) = 0$

خطوة 8.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- (x (4 x + 3) - 3 (4 x + 3)) = 0$

خطوة 8.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $4 x + 3$ .

$- ((4 x + 3) (x - 3)) = 0$

خطوة 8.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (4 x + 3) (x - 3) = 0$

خطوة 9

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 10

عيّن قيمة العبارة $4 x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة $4 x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x + 3 = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 x + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$4 x = - 3$

خطوة 10.2.2

اقسِم كل حد في $4 x = - 3$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اقسِم كل حد في $4 x = - 3$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

خطوة 10.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

خطوة 10.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

خطوة 10.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{3}{4}$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 11.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 12

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (4 x + 3) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = - \frac{3}{4}, 3$

خطوة 13

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$ صحيحة.

$x = 3$