الجبر الأمثلة

$\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

خطوة 1

اضرب بسط الكسر وقاسمه في $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اضرب $\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$ في $\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

خطوة 1.2

اجمع.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x - 1})}{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x^{2} - 1})}$

خطوة 2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

خطوة 3

بسّط بالحذف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $x^{2} - 1$ من $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وسّع $(x - 1) (x^{2} - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.2.4

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.2.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.3

اضرب $x^{3} - x - x^{2} + 1$ في $1$ .

$\frac{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.4

أضف $- x^{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - x + 0 + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.5

أضف $x^{3}$ و $0$ .

$\frac{x^{3} - x + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.6

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{x^{3} - x + 0}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.7

أضف $x^{3} - x$ و $0$ .

$\frac{x^{3} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.8

أعِد كتابة $x^{3} - x$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.8.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.8.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.8.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 4.8.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وسّع $(x - 1) (x^{2} - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5.2.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5.2.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5.2.4

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5.2.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x - 1}$

خطوة 5.3

اضرب $x^{3} - x - x^{2} + 1$ في $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x - 1}$

خطوة 5.4

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 + 0 - 1}$

خطوة 5.5

أضف $x^{3}$ و $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 - 1}$

خطوة 5.6

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 0}$

خطوة 5.7

أضف $x^{3} - x^{2}$ و $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2}}$

خطوة 5.8

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3} - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.8.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{3}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x - x^{2}}$

خطوة 5.8.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

خطوة 5.8.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} (x - 1)}$

خطوة 6

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $x$ من $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x^{2} (x - 1)}$

خطوة 6.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

خطوة 6.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

خطوة 6.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

خطوة 6.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x + 1}{x}$