الجبر الأمثلة

$\frac{9 x^{2} - 1}{12 x^{2} - 12 x} \div \frac{9 x^{2} + 12 x + 3}{3 x^{2} - 6 x + 3}$

خطوة 1

للقسمة على كسر، اضرب في مقلوبه.

$\frac{9 x^{2} - 1}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $9 x^{2}$ بالصيغة ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 1}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 2.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3 x$ و $b = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{2} - 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x) - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 3.1.2

أخرِج العامل $12 x$ من $- 12 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x) + 12 x (- 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 3.1.3

أخرِج العامل $12 x$ من $12 x (x) + 12 x (- 1)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 3.2

احذِف العامل المشترك لـ $3 x^{2} - 6 x + 3$ و $9 x^{2} + 12 x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2}) - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $3$ من $- 6 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 3.2.4

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 1}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 3.2.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

خطوة 3.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $9 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2}) + 12 x + 3}$

خطوة 3.2.6.2

أخرِج العامل $3$ من $12 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2}) + 3 (4 x) + 3}$

خطوة 3.2.6.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (3 x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x) + 3}$

خطوة 3.2.6.4

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x) + 3 (1)}$

خطوة 3.2.6.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (3 x^{2} + 4 x) + 3 (1)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x + 1)}$

خطوة 3.2.6.6

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x + 1)}$

خطوة 3.2.6.7

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

خطوة 4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

خطوة 4.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 4.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

خطوة 4.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

خطوة 5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ ومجموعهما $b = 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 4 (x) + 1}$

خطوة 5.1.2

أعِد كتابة $4$ في صورة $1$ زائد $3$

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + (1 + 3) x + 1}$

خطوة 5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 1 x + 3 x + 1}$

خطوة 5.1.4

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + x + 3 x + 1}$

خطوة 5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{(3 x^{2} + x) + 3 x + 1}$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)}$

خطوة 5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{(3 x + 1) (x + 1)}$

خطوة 6

اجمع.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{12 x (x - 1) ((3 x + 1) (x + 1))}$

خطوة 7

ألغِ العامل المشترك لـ $3 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{12 x (x - 1) ((3 x + 1) (x + 1))}$

خطوة 7.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{12 x (x - 1) (x + 1)}$

خطوة 8

احذِف العامل المشترك لـ ${(x - 1)}^{2}$ و $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) ((3 x - 1) (x - 1))}{12 x (x - 1) (x + 1)}$

خطوة 8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $x - 1$ من $12 x (x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) ((3 x - 1) (x - 1))}{(x - 1) (12 x (x + 1))}$

خطوة 8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 1) ((3 x - 1) (x - 1))}{(x - 1) (12 x (x + 1))}$

خطوة 8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(3 x - 1) (x - 1)}{12 x (x + 1)}$