الجبر الأمثلة

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{2} \sec (θ)$

خطوة 1

استبدِل $\tan^{2} (θ)$ بـ $\sec^{2} (θ) - 1$ بناءً على المتطابقة $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (θ) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ)$

خطوة 2

عوّض بقيمة $\sec (θ)$ التي تساوي $u$ .

${(u)}^{2} - 1 = \frac{3}{2} (u)$

خطوة 3

بسّط $\frac{3}{2} u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد الكتابة.

$u^{2} - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} u$

خطوة 3.2

بسّط بجمع الأصفار.

$u^{2} - 1 = \frac{3}{2} u$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{3}{2}$ و $u$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2}$

خطوة 4

اطرح $\frac{3 u}{2}$ من كلا المتعادلين.

$u^{2} - 1 - \frac{3 u}{2} = 0$

خطوة 5

اضرب في القاسم المشترك الأصغر $2$ ، ثم بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 u^{2} - 2 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

خطوة 5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{3 u}{2}$ إلى بسط الكسر.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 u^{2} - 2 - 3 u = 0$

خطوة 5.3

انقُل $- 2$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

خطوة 6

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = - 3$ و $c = - 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.1.2.2

اضرب $- 8$ في $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.1.3

أضف $9$ و $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.1.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

خطوة 9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

خطوة 10

عوّض بقيمة $u$ التي تساوي $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = 2, - \frac{1}{2}$

خطوة 11

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\sec (θ) = 2$

$\sec (θ) = - \frac{1}{2}$

خطوة 12

أوجِد قيمة $θ$ في $\sec (θ) = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

خُذ دالة القاطع العكسية لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل القاطع.

$θ = arcsec (2)$

خطوة 12.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

القيمة الدقيقة لـ $arcsec (2)$ هي $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

خطوة 12.3

دالة القاطع موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 12.4

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 12.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 12.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 12.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 12.4.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

خطوة 12.5

أوجِد فترة $\sec (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 12.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 12.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 12.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 12.6

فترة دالة $\sec (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 13

أوجِد قيمة $θ$ في $\sec (θ) = - \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

مدى القاطع هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $- \frac{1}{2}$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 14

اسرِد جميع الحلول.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$