الجبر الأمثلة

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

خطوة 1

أعِد كتابة $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ)$ في صورة الفرق بين مربعين.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} - \cos^{2} (θ)$

خطوة 2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = \sqrt{\cos (θ)}$ و $b = \cos (θ)$ .

$(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ))$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

$\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ) = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $\cos (θ)$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{\cos (θ)} = - \cos (θ)$

خطوة 4.2.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

خطوة 4.2.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\cos (θ)}$ في صورة ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

خطوة 4.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

بسّط ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

خطوة 4.2.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

خطوة 4.2.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\cos^{1} (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

خطوة 4.2.3.2.1.2

بسّط.

$\cos (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

خطوة 4.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1

بسّط ${(- \cos (θ))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \cos (θ)$ .

$\cos (θ) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (θ)$

خطوة 4.2.3.3.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\cos (θ) = 1 \cos^{2} (θ)$

خطوة 4.2.3.3.1.3

اضرب $\cos^{2} (θ)$ في $1$ .

$\cos (θ) = \cos^{2} (θ)$

خطوة 4.2.4

أوجِد قيمة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

اطرح $\cos^{2} (θ)$ من كلا المتعادلين.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

خطوة 4.2.4.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.1

لنفترض أن $u = \cos (θ)$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $\cos (θ)$ .

$u - u^{2} = 0$

خطوة 4.2.4.2.2

أخرِج العامل $u$ من $u - u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.2.2.1

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$u - u^{2} = 0$

خطوة 4.2.4.2.2.2

أخرِج العامل $u$ من $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

خطوة 4.2.4.2.2.3

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

خطوة 4.2.4.2.2.4

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

خطوة 4.2.4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

خطوة 4.2.4.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

خطوة 4.2.4.4

عيّن قيمة $\cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (θ) = 0$

خطوة 4.2.4.5

عيّن قيمة العبارة $1 - \cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.5.1

عيّن قيمة $1 - \cos (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

خطوة 4.2.4.5.2

أوجِد قيمة $\cos (θ)$ في $1 - \cos (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \cos (θ) = - 1$

خطوة 4.2.4.5.2.2

اقسِم كل حد في $- \cos (θ) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \cos (θ) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.4.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.4.5.2.2.2.2

اقسِم $\cos (θ)$ على $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.4.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.5.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

خطوة 4.2.4.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ صحيحة.

$\cos (θ) = 0, 1$

خطوة 4.2.5

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) = 1$

خطوة 4.2.6

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (0)$

خطوة 4.2.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.6.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.6.4

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.6.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 4.2.6.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 4.2.6.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.4.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 4.2.6.4.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 4.2.6.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.6.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.6.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.6.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.6.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.7

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (1)$

خطوة 4.2.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 4.2.7.3

$θ = 2 π - 0$

خطوة 4.2.7.4

اطرح $0$ من $2 π$ .

$θ = 2 π$

خطوة 4.2.7.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.7.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.7.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.8

اسرِد جميع الحلول.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.9

وحّد الحلول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

ادمج $\frac{π}{2} + 2 π n$ و $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ في $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.9.2

ادمج $2 π n$ و $2 π + 2 π n$ في $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ)) = 0$ صحيحة.

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$