الجبر الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{x^{2} - 1}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{y^{2} - 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{y^{2} - 1} = x$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} = x$

خطوة 3.2

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}} = x$

خطوة 3.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$

خطوة 3.3

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$(y + 1) (y - 1), 1$

خطوة 3.3.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$(y + 1) (y - 1)$

خطوة 3.4

اضرب كل حد في $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$ في $(y + 1) (y - 1)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} = x$ في $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = x ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $(y + 1) (y - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = x ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = x ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

وسّع $(y + 1) (y - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = x (y (y - 1) + 1 (y - 1))$

خطوة 3.4.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = x (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1))$

خطوة 3.4.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = x (y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1)$

خطوة 3.4.3.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$1 = x (y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1)$

خطوة 3.4.3.2.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$1 = x (y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1)$

خطوة 3.4.3.2.1.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$1 = x (y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1)$

خطوة 3.4.3.2.1.4

اضرب $y$ في $1$ .

$1 = x (y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1)$

خطوة 3.4.3.2.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 = x (y^{2} - y + y - 1)$

خطوة 3.4.3.2.2

أضف $- y$ و $y$ .

$1 = x (y^{2} + 0 - 1)$

خطوة 3.4.3.2.3

أضف $y^{2}$ و $0$ .

$1 = x (y^{2} - 1)$

خطوة 3.4.3.3

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = x y^{2} + x \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$1 = x y^{2} - 1 \cdot x$

خطوة 3.4.3.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$1 = x y^{2} - x$

خطوة 3.5

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x y^{2} - x = 1$ .

$x y^{2} - x = 1$

خطوة 3.5.2

أضف $x$ إلى كلا المتعادلين.

$x y^{2} = 1 + x$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في $x y^{2} = 1 + x$ على $x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في $x y^{2} = 1 + x$ على $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 3.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x}$

خطوة 3.5.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} = \frac{1}{x} + 1$

خطوة 3.5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$

خطوة 3.5.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{x} + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{x}{x}}$

خطوة 3.5.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{x}}$

خطوة 3.5.5.3

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1 + x}{x}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 3.5.5.4

اضرب $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

خطوة 3.5.5.5

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.5.1

اضرب $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

خطوة 3.5.5.5.2

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

خطوة 3.5.5.5.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

خطوة 3.5.5.5.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

خطوة 3.5.5.5.5

أضف $1$ و $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

خطوة 3.5.5.5.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.5.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.5.5.5.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 3.5.5.5.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.5.5.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.5.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 3.5.5.5.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

خطوة 3.5.5.5.6.5

بسّط.

$y = \pm \frac{\sqrt{1 + x} \sqrt{x}}{x}$

خطوة 3.5.5.6

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) x}}{x}$

خطوة 3.5.5.7

أعِد ترتيب العوامل في $\pm \frac{\sqrt{(1 + x) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

خطوة 3.5.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

خطوة 3.5.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

خطوة 3.5.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ و $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 1] \cup (0, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x (1 + x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x (1 + x) \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$1 + x = 0$

خطوة 5.3.2.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.3.2.3

عيّن قيمة العبارة $1 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

عيّن قيمة $1 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 + x = 0$

خطوة 5.3.2.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 5.3.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (1 + x) \geq 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1$

خطوة 5.3.2.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

خطوة 5.3.2.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 5.3.2.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$- 4 (1 - 4) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.1.3

الطرف الأيسر $12$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3.2.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 1 < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 1 < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 0.5$

خطوة 5.3.2.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 0.5$ في المتباينة الأصلية.

$- 0.5 (1 - 0.5) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.2.3

الطرف الأيسر $- 0.25$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.3.2.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 5.3.2.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$2 (1 + 2) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.3.3

الطرف الأيسر $6$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3.2.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 1$ صحيحة

$- 1 < x < 0$ خطأ

$x > 0$ صحيحة

$x < - 1$ صحيحة

$- 1 < x < 0$ خطأ

$x > 0$ صحيحة

خطوة 5.3.2.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq - 1$ أو $x \geq 0$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x = 0$

خطوة 5.3.4

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 1] \cup (0, \infty)$

خطوة 5.4

أوجِد نطاق $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{1}{x^{2} - 1}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x^{2} - 1 = 0$

خطوة 5.4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x^{2} = 1$

خطوة 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 5.4.2.3

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 5.4.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 5.4.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 5.4.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 5.4.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5.5

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ هو مدى $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ ومدى $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ هو نطاق $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}, - \frac{\sqrt{x (1 + x)}}{x}$

خطوة 6