الجبر الأمثلة

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \div (\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}})$

خطوة 1

أعِد كتابة القسمة في صورة كسر.

$\frac{\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

خطوة 2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

خطوة 3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

خطوة 4

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

خطوة 5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

خطوة 5.2

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}}$

خطوة 5.3

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

خطوة 6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

خطوة 6.2

لكتابة $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

خطوة 6.3

لكتابة $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

خطوة 6.4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(y - x) {(x + y)}^{2}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ في $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{(x + y) (y - x) (x + y)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

خطوة 6.4.2

ارفع $x + y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} (x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

خطوة 6.4.3

ارفع $x + y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

خطوة 6.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1 + 1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

خطوة 6.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

خطوة 6.4.6

اضرب $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ في $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

خطوة 6.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

خطوة 6.6

أعِد كتابة $\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y + 0}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

خطوة 6.6.2

أضف $y + y$ و $0$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

خطوة 6.6.3

أضف $y$ و $y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع.

$\frac{4 x y \cdot 1}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

خطوة 7.2

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

خطوة 8

أخرِج العامل $\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ من $\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y} \cdot \frac{4 x y}{(y + x) (y - x)}$

خطوة 9

اجمع.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

خطوة 10

ألغِ العامل المشترك لـ $y - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

خطوة 10.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(x + y)}^{2} (4 x y)}{2 y (y + x)}$

خطوة 11

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أخرِج العامل $2$ من ${(x + y)}^{2} (4 x y)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 y (y + x)}$

خطوة 11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 y (y + x)$ .

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

خطوة 11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

خطوة 11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

خطوة 12

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

خطوة 12.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{y + x}$

خطوة 13

احذِف العامل المشترك لـ ${(x + y)}^{2}$ و $y + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{x + y}$

خطوة 13.2

أخرِج العامل $x + y$ من ${(x + y)}^{2} (2 x)$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{x + y}$

خطوة 13.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

اضرب في $1$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

خطوة 13.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

خطوة 13.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x + y) (2 x)}{1}$

خطوة 13.3.4

اقسِم $(x + y) (2 x)$ على $1$ .

$(x + y) (2 x)$

خطوة 14

طبّق خاصية التوزيع.

$x (2 x) + y (2 x)$

خطوة 15

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 x \cdot x + y (2 x)$

خطوة 15.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 x \cdot x + 2 y x$

خطوة 16

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

انقُل $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 y x$

خطوة 16.2

اضرب $x$ في $x$ .

$2 x^{2} + 2 y x$