الجبر الأمثلة

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} < \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4}$

خطوة 1

اضرب كلا الطرفين في $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

خطوة 2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط $\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

خطوة 2.2.1.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

خطوة 2.2.1.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

خطوة 2.2.1.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$12 = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} (x^{2} + 2 x)$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ في $x^{2} + 2 x$ .

$12 = \frac{3 (x^{2} + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.2.1.3.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$12 = \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.2.1.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$12 = \frac{3 (x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

$12 = \frac{3 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.2.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $x + 2$ و ${(x + 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.4.1

أخرِج العامل $x + 2$ من $3 x (x + 2)$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

خطوة 2.2.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.4.2.1

أخرِج العامل $x + 2$ من ${(x + 2)}^{2}$ .

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

خطوة 2.2.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

خطوة 2.2.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$12 = \frac{3 x}{x + 2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ .

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$

خطوة 3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x + 2, 1$

خطوة 3.2.2

احذِف الأقواس.

$x + 2, 1$

خطوة 3.2.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$x + 2$

خطوة 3.3

اضرب كل حد في $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ في $x + 2$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب كل حد في $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ في $x + 2$ .

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

خطوة 3.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 x = 12 (x + 2)$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x = 12 x + 12 \cdot 2$

خطوة 3.3.3.2

اضرب $12$ في $2$ .

$3 x = 12 x + 24$

خطوة 3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اطرح $12 x$ من كلا المتعادلين.

$3 x - 12 x = 24$

خطوة 3.4.1.2

اطرح $12 x$ من $3 x$ .

$- 9 x = 24$

خطوة 3.4.2

اقسِم كل حد في $- 9 x = 24$ على $- 9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اقسِم كل حد في $- 9 x = 24$ على $- 9$ .

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

خطوة 3.4.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{24}{- 9}$

خطوة 3.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $24$ و $- 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $24$ .

$x = \frac{3 (8)}{- 9}$

خطوة 3.4.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $- 9$ .

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

خطوة 3.4.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

خطوة 3.4.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{8}{- 3}$

خطوة 3.4.2.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{8}{3}$

خطوة 4

أوجِد نطاق $\frac{12}{x (x + 2)} - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{12}{x (x + 2)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x (x + 2) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 4.2.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 4.2.3

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 4.2.3.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 4.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 2$

خطوة 4.3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x + 2)}^{2} = 0$

خطوة 4.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 4.4.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 4.5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

خطوة 6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - \frac{8}{3}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - \frac{8}{3}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 5$

خطوة 6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{12}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5)} < \frac{3}{{(- 5)}^{2} + 4 (- 5) + 4}$

خطوة 6.1.3

الطرف الأيسر $0.8$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0.\overline{3}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 6.2

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{8}{3} < x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{8}{3} < x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2.33$

خطوة 6.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 2.33$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{12}{{(- 2.33)}^{2} + 2 (- 2.33)} < \frac{3}{{(- 2.33)}^{2} + 4 (- 2.33) + 4}$

خطوة 6.2.3

الطرف الأيسر $15.60671088$ أصغر من الطرف الأيمن $27.54820936$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 6.3

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 1$

خطوة 6.3.2

استبدِل $x$ بـ $- 1$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{12}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < \frac{3}{{(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 4}$

خطوة 6.3.3

الطرف الأيسر $- 12$ أصغر من الطرف الأيمن $3$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 6.4

اختبر قيمة في الفترة $x > 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 6.4.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{12}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < \frac{3}{{(2)}^{2} + 4 (2) + 4}$

خطوة 6.4.3

الطرف الأيسر $1.5$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0.1875$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 6.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - \frac{8}{3}$ خطأ

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 0$ صحيحة

$x > 0$ خطأ

$x < - \frac{8}{3}$ خطأ

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ صحيحة

$- 2 < x < 0$ صحيحة

$x > 0$ خطأ

خطوة 7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ أو $- 2 < x < 0$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$- \frac{8}{3} < x < - 2 or - 2 < x < 0$

ترميز الفترة:

$(- \frac{8}{3}, - 2) \cup (- 2, 0)$

خطوة 9