الجبر الأمثلة

$\frac{y + 2}{y + 1} + \frac{2 y^{2} - y + 3}{y^{2} - 1} = - \frac{y - 2}{y - 1}$

خطوة 1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{y + 2}{y + 1} + \frac{2 y^{2} - y + 3}{y^{2} - 1^{2}} = - \frac{y - 2}{y - 1}$

خطوة 1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$\frac{y + 2}{y + 1} + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} = - \frac{y - 2}{y - 1}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y + 1, (y + 1) (y - 1), y - 1$

خطوة 2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.5

عامل $y + 1$ هو $y + 1$ نفسها.

$(y + 1) = y + 1$

تحدث $(y + 1)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.6

عامل $y - 1$ هو $y - 1$ نفسها.

$(y - 1) = y - 1$

تحدث $(y - 1)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y + 1, y + 1, y - 1, y - 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(y + 1) (y - 1)$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{y + 2}{y + 1} + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} = - \frac{y - 2}{y - 1}$ في $(y + 1) (y - 1)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{y + 2}{y + 1} + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} = - \frac{y - 2}{y - 1}$ في $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1)) + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y + 2}{y + 1} ((y + 1) (y - 1)) + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$(y + 2) (y - 1) + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.2

وسّع $(y + 2) (y - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y (y - 1) + 2 (y - 1) + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 (y - 1) + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y \cdot y + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 1 + 2 y + 2 \cdot - 1 + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $y$ .

$y^{2} - 1 \cdot y + 2 y + 2 \cdot - 1 + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 y$ بالصيغة $- y$ .

$y^{2} - y + 2 y + 2 \cdot - 1 + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.3.1.4

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y^{2} - y + 2 y - 2 + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.3.2

أضف $- y$ و $2 y$ .

$y^{2} + y - 2 + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $(y + 1) (y - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} + y - 2 + \frac{2 y^{2} - y + 3}{(y + 1) (y - 1)} ((y + 1) (y - 1)) = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} + y - 2 + 2 y^{2} - y + 3 = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $y^{2} + y - 2 + 2 y^{2} - y + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اطرح $y$ من $y$ .

$y^{2} - 2 + 2 y^{2} + 0 + 3 = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.2.1.2

أضف $y^{2} - 2 + 2 y^{2}$ و $0$ .

$y^{2} - 2 + 2 y^{2} + 3 = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.2.2

أضف $y^{2}$ و $2 y^{2}$ .

$3 y^{2} - 2 + 3 = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.2.2.3

أضف $- 2$ و $3$ .

$3 y^{2} + 1 = - \frac{y - 2}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{y - 2}{y - 1}$ إلى بسط الكسر.

$3 y^{2} + 1 = \frac{- (y - 2)}{y - 1} ((y + 1) (y - 1))$

خطوة 3.3.1.1.2

أخرِج العامل $y - 1$ من $(y + 1) (y - 1)$ .

$3 y^{2} + 1 = \frac{- (y - 2)}{y - 1} ((y - 1) (y + 1))$

خطوة 3.3.1.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 y^{2} + 1 = \frac{- (y - 2)}{y - 1} ((y - 1) (y + 1))$

خطوة 3.3.1.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} + 1 = - (y - 2) (y + 1)$

خطوة 3.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} + 1 = (- y - - 2) (y + 1)$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$3 y^{2} + 1 = (- y + 2) (y + 1)$

خطوة 3.3.2

وسّع $(- y + 2) (y + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} + 1 = - y (y + 1) + 2 (y + 1)$

خطوة 3.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} + 1 = - y \cdot y - y \cdot 1 + 2 (y + 1)$

خطوة 3.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} + 1 = - y \cdot y - y \cdot 1 + 2 y + 2 \cdot 1$

خطوة 3.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1.1

انقُل $y$ .

$3 y^{2} + 1 = - (y \cdot y) - y \cdot 1 + 2 y + 2 \cdot 1$

خطوة 3.3.3.1.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$3 y^{2} + 1 = - y^{2} - y \cdot 1 + 2 y + 2 \cdot 1$

خطوة 3.3.3.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$3 y^{2} + 1 = - y^{2} - y + 2 y + 2 \cdot 1$

خطوة 3.3.3.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$3 y^{2} + 1 = - y^{2} - y + 2 y + 2$

خطوة 3.3.3.2

أضف $- y$ و $2 y$ .

$3 y^{2} + 1 = - y^{2} + y + 2$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $y$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$- y^{2} + y + 2 = 3 y^{2} + 1$

خطوة 4.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $3 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- y^{2} + y + 2 - 3 y^{2} = 1$

خطوة 4.2.2

اطرح $3 y^{2}$ من $- y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + y + 2 = 1$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود إلى المتعادل الأيسر وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- 4 y^{2} + y + 2 - 1 = 0$

خطوة 4.3.2

اطرح $1$ من $2$ .

$- 4 y^{2} + y + 1 = 0$

خطوة 4.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.5

عوّض بقيم $a = - 4$ و $b = 1$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 4.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 4.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 4 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16 \cdot 1}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 4.6.1.2.2

اضرب $16$ في $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 4.6.1.3

أضف $1$ و $16$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot - 4}$

خطوة 4.6.2

اضرب $2$ في $- 4$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{- 8}$

خطوة 4.6.3

بسّط $\frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{- 8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{8}$

خطوة 4.7

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}, \frac{1 - \sqrt{17}}{8}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$y = \frac{1 + \sqrt{17}}{8}, \frac{1 - \sqrt{17}}{8}$

الصيغة العشرية:

$y = 0.64038820 \dots, - 0.39038820 \dots$