الجبر الأمثلة

$\frac{y}{5 y - 10} - \frac{5}{3 y + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

خطوة 1

حلّل كل حد إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 y - 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5 y$ .

$\frac{y}{5 (y) - 10} - \frac{5}{3 y + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $5$ من $- 10$ .

$\frac{y}{5 y + 5 \cdot - 2} - \frac{5}{3 y + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $5$ من $5 y + 5 \cdot - 2$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 y + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 y + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y) + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

خطوة 1.2.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 y + 3 \cdot 2} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

خطوة 1.2.3

أخرِج العامل $3$ من $3 y + 3 \cdot 2$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $15$ من $15 y^{2} - 60$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $15$ من $15 y^{2}$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y^{2}) - 60}$

خطوة 1.3.2

أخرِج العامل $15$ من $- 60$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} + 15 \cdot - 4}$

خطوة 1.3.3

أخرِج العامل $15$ من $15 y^{2} + 15 \cdot - 4$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y^{2} - 4)}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y^{2} - 2^{2})}$

خطوة 1.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = 2$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 ((y + 2) (y - 2))}$

خطوة 1.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)}$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$5 (y - 2), 3 (y + 2), 15 (y + 2) (y - 2)$

خطوة 2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.3

بما أن $5$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $5$ .

$5$ هي عدد أولي

خطوة 2.4

بما أن $3$ ليس لها عوامل بخلاف $1$ و $3$ .

$3$ هي عدد أولي

خطوة 2.5

$15$ لها العاملان $3$ و $5$ .

$3 \cdot 5$

خطوة 2.6

اضرب $3$ في $5$ .

$15$

خطوة 2.7

عامل $y - 2$ هو $y - 2$ نفسها.

$(y - 2) = y - 2$

تحدث $(y - 2)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.8

عامل $y + 2$ هو $y + 2$ نفسها.

$(y + 2) = y + 2$

تحدث $(y + 2)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.9

عامل $y - 2$ هو $y - 2$ نفسها.

$(y - 2) = y - 2$

تحدث $(y - 2)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.10

المضاعف المشترك الأصغر لـ $y - 2, y + 2, y + 2, y - 2$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(y - 2) (y + 2)$

خطوة 2.11

المضاعف المشترك الأصغر $LCM$ لبعض الأعداد هو أصغر عدد تمثل الأعداد عوامله.

$15 (y - 2) (y + 2)$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)}$ في $15 (y - 2) (y + 2)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{y}{5 (y - 2)} - \frac{5}{3 (y + 2)} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)}$ في $15 (y - 2) (y + 2)$ .

$\frac{y}{5 (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$15 \frac{y}{5 (y - 2)} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$5 (3) \frac{y}{5 (y - 2)} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 \cdot 3 \frac{y}{5 (y - 2)} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 \frac{y}{y - 2} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.3

اجمع $3$ و $\frac{y}{y - 2}$ .

$\frac{3 y}{y - 2} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y}{y - 2} ((y - 2) (y + 2)) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 y (y + 2) - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y \cdot y + 3 y \cdot 2 - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.6

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.6.1

انقُل $y$ .

$3 (y \cdot y) + 3 y \cdot 2 - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.6.2

اضرب $y$ في $y$ .

$3 y^{2} + 3 y \cdot 2 - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.7

اضرب $2$ في $3$ .

$3 y^{2} + 6 y - \frac{5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3 (y + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{3 (y + 2)}$ إلى بسط الكسر.

$3 y^{2} + 6 y + \frac{- 5}{3 (y + 2)} (15 (y - 2) (y + 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.8.2

أخرِج العامل $3 (y + 2)$ من $15 (y - 2) (y + 2)$ .

$3 y^{2} + 6 y + \frac{- 5}{3 (y + 2)} (3 (y + 2) (5 (y - 2))) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.8.3

ألغِ العامل المشترك.

$3 y^{2} + 6 y + \frac{- 5}{3 (y + 2)} (3 (y + 2) (5 (y - 2))) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.8.4

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} + 6 y - 5 (5 (y - 2)) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.9

اضرب $5$ في $- 5$ .

$3 y^{2} + 6 y - 25 (y - 2) = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.10

طبّق خاصية التوزيع.

$3 y^{2} + 6 y - 25 y - 25 \cdot - 2 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.1.11

اضرب $- 25$ في $- 2$ .

$3 y^{2} + 6 y - 25 y + 50 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.2.2

اطرح $25 y$ من $6 y$ .

$3 y^{2} - 19 y + 50 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} (15 (y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 y^{2} - 19 y + 50 = 15 \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 (y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

أخرِج العامل $15$ من $15 (y + 2) (y - 2)$ .

$3 y^{2} - 19 y + 50 = 15 \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 ((y + 2) (y - 2))} ((y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 y^{2} - 19 y + 50 = 15 \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 ((y + 2) (y - 2))} ((y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} - 19 y + 50 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{(y + 2) (y - 2)} ((y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $(y - 2) (y + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أخرِج العامل $(y - 2) (y + 2)$ من $(y + 2) (y - 2)$ .

$3 y^{2} - 19 y + 50 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{(y - 2) (y + 2) (1)} ((y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.3.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 y^{2} - 19 y + 50 = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{(y - 2) (y + 2) \cdot 1} ((y - 2) (y + 2))$

خطوة 3.3.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 y^{2} - 19 y + 50 = 2 y^{2} - 19 y + 54$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اطرح $2 y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} - 19 y + 50 - 2 y^{2} = - 19 y + 54$

خطوة 4.1.2

أضف $19 y$ إلى كلا المتعادلين.

$3 y^{2} - 19 y + 50 - 2 y^{2} + 19 y = 54$

خطوة 4.1.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 y^{2} - 19 y + 50 - 2 y^{2} + 19 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

أضف $- 19 y$ و $19 y$ .

$3 y^{2} + 50 - 2 y^{2} + 0 = 54$

خطوة 4.1.3.2

أضف $3 y^{2} + 50 - 2 y^{2}$ و $0$ .

$3 y^{2} + 50 - 2 y^{2} = 54$

خطوة 4.1.4

اطرح $2 y^{2}$ من $3 y^{2}$ .

$y^{2} + 50 = 54$

خطوة 4.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $50$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} = 54 - 50$

خطوة 4.2.2

اطرح $50$ من $54$ .

$y^{2} = 4$

خطوة 4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \pm \sqrt{4}$

خطوة 4.4

بسّط $\pm \sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2}}$

خطوة 4.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$y = \pm 2$

خطوة 4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = 2$

خطوة 4.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - 2$

خطوة 4.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = 2, - 2$

خطوة 5

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\frac{y}{5 y - 10} - \frac{5}{3 y + 6} = \frac{2 y^{2} - 19 y + 54}{15 y^{2} - 60}$ صحيحة.

$لا يوجد حل$