الجبر الأمثلة

$\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$

خطوة 1

استبدِل $\sin^{2} (θ)$ بـ $1 - \cos^{2} (θ)$ .

$\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $\cos (2 θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $\cos (2 θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\cos (2 θ) = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (2 θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$2 θ = \arccos (0)$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$2 θ = \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.3

اقسِم كل حد في $2 θ = \frac{π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

اقسِم كل حد في $2 θ = \frac{π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 3.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 3.2.3.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

خطوة 3.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.3.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.2.3.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$θ = \frac{π}{4}$

خطوة 3.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 θ = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.5

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.5.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 3.2.5.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 3.2.5.1.4

اضرب $2$ في $2$ .

$2 θ = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 3.2.5.1.5

اطرح $π$ من $4 π$ .

$2 θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 3.2.5.2

اقسِم كل حد في $2 θ = \frac{3 π}{2}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.1

اقسِم كل حد في $2 θ = \frac{3 π}{2}$ على $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 3.2.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 3.2.5.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

خطوة 3.2.5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.2.5.2.3.2

اضرب $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.2.3.2.1

اضرب $\frac{3 π}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.2.5.2.3.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

خطوة 3.2.6

أوجِد فترة $\cos (2 θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2.6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 3.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.2.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 3.2.6.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 3.2.7

فترة دالة $\cos (2 θ)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $1 - \cos^{2} (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $1 - \cos^{2} (θ)$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$1 - \cos^{2} (θ) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $θ$ في $1 - \cos^{2} (θ) = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \cos^{2} (θ) = - 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في $- \cos^{2} (θ) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في $- \cos^{2} (θ) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \cos^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\cos^{2} (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.2.2.2

اقسِم $\cos^{2} (θ)$ على $1$ .

$\cos^{2} (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) = 1$

خطوة 4.2.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\cos (θ) = \pm \sqrt{1}$

خطوة 4.2.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\cos (θ) = \pm 1$

خطوة 4.2.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cos (θ) = 1$

خطوة 4.2.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cos (θ) = - 1$

خطوة 4.2.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cos (θ) = 1, - 1$

خطوة 4.2.6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\cos (θ) = 1$

$\cos (θ) = - 1$

خطوة 4.2.7

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (1)$

خطوة 4.2.7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$θ = 0$

خطوة 4.2.7.3

$θ = 2 π - 0$

خطوة 4.2.7.4

اطرح $0$ من $2 π$ .

$θ = 2 π$

خطوة 4.2.7.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.7.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.7.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.8

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (θ) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$θ = \arccos (- 1)$

خطوة 4.2.8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$θ = π$

خطوة 4.2.8.3

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$θ = 2 π - π$

خطوة 4.2.8.4

اطرح $π$ من $2 π$ .

$θ = π$

خطوة 4.2.8.5

أوجِد فترة $\cos (θ)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.8.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.8.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.8.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.8.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 4.2.8.6

فترة دالة $\cos (θ)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.9

اسرِد جميع الحلول.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4.2.10

وحّد الإجابات.

$θ = π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $\cos (2 θ) (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$ صحيحة.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 6

ادمج $\frac{π}{4} + π n$ و $\frac{3 π}{4} + π n$ في $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 7

استبعِد الحلول التي لا تجعل $\cos (2 θ) + \sin^{2} (θ) = 0$ صحيحة.

لا يوجد حل