الجبر الأمثلة

$y = \sqrt{x^{2} - 4}$

خطوة 1

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{y^{2} - 4}$

خطوة 2

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{y^{2} - 4} = x$ .

$\sqrt{y^{2} - 4} = x$

خطوة 2.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{y^{2} - 4}}^{2} = x^{2}$

خطوة 2.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y^{2} - 4}$ في صورة ${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

بسّط ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(y^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(y^{2} - 4)}^{1} = x^{2}$

خطوة 2.3.2.1.2

بسّط.

$y^{2} - 4 = x^{2}$

خطوة 2.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{2} = x^{2} + 4$

خطوة 2.4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{x^{2} + 4}$

خطوة 2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

خطوة 2.4.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

خطوة 2.4.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = \sqrt{x^{2} + 4}$

$y = - \sqrt{x^{2} + 4}$

خطوة 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$

خطوة 4

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ و $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ وقارن بينهما.

خطوة 4.2

أوجِد مدى $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

خطوة 4.3

أوجِد نطاق $\sqrt{x^{2} + 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x^{2} + 4}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{2} + 4 \geq 0$

خطوة 4.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح $4$ من كلا طرفي المتباينة.

$x^{2} \geq - 4$

خطوة 4.3.2.2

بما أن الطرف الأيسر به قوة زوجية، إذن هو دائمًا موجب بالنسبة إلى جميع الأعداد الحقيقية.

جميع الأعداد الحقيقية

خطوة 4.3.3

النطاق هو جميع الأعداد الحقيقية.

$(- \infty, \infty)$

خطوة 4.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ لا يساوي مدى $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt{x^{2} + 4}, - \sqrt{x^{2} + 4}$ ليست معكوس $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4}$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 5