الجبر الأمثلة

$\frac{x}{x^{2} - y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = y$ .

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 2

لكتابة $\frac{x}{(x + y) (x - y)}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 3

لكتابة $\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$ .

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

خطوة 4

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $\frac{x}{(x + y) (x - y)}$ في $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ في $\frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$ .

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{(x + y) ((x + y) (x - y))}{(x^{2} + y^{2}) ((x + y) (x - y))}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب عوامل $(x^{2} + y^{2}) ((x + y) (x - y))$ .

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{(x + y) ((x + y) (x - y))}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x (x^{2} + y^{2}) + (x + y) ((x + y) (x - y))}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x^{2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x^{2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 + 2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.2.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.3

وسّع $(x + y) (x + y)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x (x + y) + y (x + y)) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x \cdot x + x y + y (x + y)) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.4.1.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + y x + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.4.2

أضف $x y$ و $y x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

أعِد ترتيب $y$ و $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + x y + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.4.2.2

أضف $x y$ و $x y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.5

وسّع $(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x - y)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2} x + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2} x^{1} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2 + 1} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.1.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 (x \cdot x) y + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.4

اضرب $y$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.4.1

انقُل $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x (y \cdot y) \cdot - 1 + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.4.2

اضرب $y$ في $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x y^{2} \cdot - 1 + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{2} y}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.7

اضرب $y^{2}$ في $y$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.7.1

انقُل $y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - (y \cdot y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.7.2

اضرب $y$ في $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.7.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - (y^{1} y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.7.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{1 + 2}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.6.7.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.7

أضف $- x^{2} y$ و $2 x^{2} y$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + 1 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.8

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.9

أضف $- 2 x y^{2}$ و $y^{2} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.9.1

أعِد ترتيب $y^{2}$ و $x$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} + x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.9.2

أضف $- 2 x y^{2}$ و $x y^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.10

أضف $x^{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + x y^{2} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.11

اطرح $x y^{2}$ من $x y^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} y + 0 - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 6.12

أضف $2 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} y - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$