الجبر الأمثلة

$\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x} \geq 1$

خطوة 1

اطرح $1$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x} - 1 \geq 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{3}{x - 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{4}{x} - 1 \geq 0$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{4}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{4}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 1 \geq 0$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x - 1) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{3}{x - 1}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x}{(x - 1) x} - \frac{4}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 1 \geq 0$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{4}{x}$ في $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{(x - 1) x} - \frac{4 (x - 1)}{x (x - 1)} - 1 \geq 0$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x - 1) x$ .

$\frac{3 x}{x (x - 1)} - \frac{4 (x - 1)}{x (x - 1)} - 1 \geq 0$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 x - 4 (x - 1)}{x (x - 1)} - 1 \geq 0$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x - 4 x - 4 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 1 \geq 0$

خطوة 2.5.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$\frac{3 x - 4 x + 4}{x (x - 1)} - 1 \geq 0$

خطوة 2.5.3

اطرح $4 x$ من $3 x$ .

$\frac{- x + 4}{x (x - 1)} - 1 \geq 0$

خطوة 2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{- x + 4}{x (x - 1)} - 1 \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{- x + 4}{x (x - 1)} + \frac{- (x (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- x + 4 - (x (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{- x + 4 - x \cdot x - x \cdot - 1}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.9.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{- x + 4 - (x \cdot x) - x \cdot - 1}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.9.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{- x + 4 - x^{2} - x \cdot - 1}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.9.3

اضرب $- x \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- x + 4 - x^{2} + 1 x}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.9.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{- x + 4 - x^{2} + x}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.9.4

أضف $- x$ و $x$ .

$\frac{4 - x^{2} + 0}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.9.5

أضف $4 - x^{2}$ و $0$ .

$\frac{4 - x^{2}}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.9.6

أعِد كتابة $4 - x^{2}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.6.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - x^{2}}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 2.9.6.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 2$ و $b = x$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x (x - 1)} \geq 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 4

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 5

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 2$

خطوة 6

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اقسِم كل حد في $- x = - 2$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

خطوة 6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم $- 2$ على $- 1$ .

$x = 2$

خطوة 7

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 8

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = 0$

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

خطوة 9

وحّد الحلول.

$x = 0, - 2, 2, 1$

خطوة 10

أوجِد نطاق $\frac{(2 + x) (2 - x)}{x (x - 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(2 + x) (2 - x)}{x (x - 1)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x (x - 1) = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 10.2.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 10.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 10.2.3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 10.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 1$

خطوة 10.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 11

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

خطوة 12

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 12.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{3}{(- 4) - 1} - \frac{4}{- 4} \geq 1$

خطوة 12.1.3

الطرف الأيسر $0.4$ أصغر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.2

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 1$

خطوة 12.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 1$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{3}{(- 1) - 1} - \frac{4}{- 1} \geq 1$

خطوة 12.2.3

الطرف الأيسر $2.5$ أكبر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.3

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0.5$

خطوة 12.3.2

استبدِل $x$ بـ $0.5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{3}{(0.5) - 1} - \frac{4}{0.5} \geq 1$

خطوة 12.3.3

الطرف الأيسر $- 14$ أصغر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.4

اختبر قيمة في الفترة $1 < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اختر قيمة من الفترة $1 < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1.5$

خطوة 12.4.2

استبدِل $x$ بـ $1.5$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{3}{(1.5) - 1} - \frac{4}{1.5} \geq 1$

خطوة 12.4.3

الطرف الأيسر $3.\overline{3}$ أكبر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 12.5.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{3}{(4) - 1} - \frac{4}{4} \geq 1$

خطوة 12.5.3

الطرف الأيسر $0$ أصغر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 2$ خطأ

$- 2 < x < 0$ صحيحة

$0 < x < 1$ خطأ

$1 < x < 2$ صحيحة

$x > 2$ خطأ

$x < - 2$ خطأ

$- 2 < x < 0$ صحيحة

$0 < x < 1$ خطأ

$1 < x < 2$ صحيحة

$x > 2$ خطأ

خطوة 13

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 2 \leq x < 0$ أو $1 < x \leq 2$

خطوة 14

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$- 2 \leq x < 0 or 1 < x \leq 2$

ترميز الفترة:

$[- 2, 0) \cup (1, 2]$

خطوة 15