Тригонометрия Примеры

$2 \tan^{2} (x) - 3 \tan (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\tan (x)$ .

$2 {(u)}^{2} - 3 u = - \frac{1}{2}$

Этап 2

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$2 u^{2} - 3 u + \frac{1}{2} = 0$

Этап 3

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 u^{2}) + 2 (- 3 u) + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 u^{2} + 2 (- 3 u) + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 3.2.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$4 u^{2} - 6 u + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$4 u^{2} - 6 u + 2 (\frac{1}{2}) = 0$

Этап 3.2.3.2

Перепишем это выражение.

$4 u^{2} - 6 u + 1 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 6$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.3

Вычтем $16$ из $36$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$

Этап 7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 8

Подставим $\tan (x)$ вместо $u$ .

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}, \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$

$\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 10

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{4})$

Этап 10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Найдем значение $\arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = 0.91843818$

Этап 10.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = (3.14159265) + 0.91843818$

Этап 10.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.91843818$

Этап 10.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.91843818$

Этап 10.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.91843818$ .

$x = 4.06003084$

Этап 10.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 10.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 10.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.91843818 + π n, 4.06003084 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 11

Решим относительно $x$ в $\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{4})$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = 0.18871053$

Этап 11.3

$x = (3.14159265) + 0.18871053$

Этап 11.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 + 0.18871053$

Этап 11.4.2

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) + 0.18871053$

Этап 11.4.3

Добавим $3.14159265$ и $0.18871053$ .

$x = 3.33030318$

Этап 11.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 11.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 11.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 12

Перечислим все решения.

$x = 0.91843818 + π n, 4.06003084 + π n, 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $0.91843818 + π n$ и $4.06003084 + π n$ в $0.91843818 + π n$ .

$x = 0.91843818 + π n, 0.18871053 + π n, 3.33030318 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13.2

Объединим $0.18871053 + π n$ и $3.33030318 + π n$ в $0.18871053 + π n$ .

$x = 0.91843818 + π n, 0.18871053 + π n$ , для любого целого $n$