Основы мат. анализа Примеры

${(3 + 3 i)}^{5}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$3^{5} + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$243 + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.2

Умножим $3^{4}$ на $3$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем $3$ .

$243 + 5 \cdot (3 \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.2.2

Умножим $3$ на $3^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$243 + 5 \cdot (3^{1} \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$243 + 5 \cdot 3^{1 + 4} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.2.3

Добавим $1$ и $4$ .

$243 + 5 \cdot 3^{5} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.3

Возведем $3$ в степень $5$ .

$243 + 5 \cdot 243 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.4

Умножим $5$ на $243$ .

$243 + 1215 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$243 + 1215 i + 10 \cdot 27 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.6

Умножим $10$ на $27$ .

$243 + 1215 i + 270 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.7

Применим правило умножения к $3 i$ .

$243 + 1215 i + 270 (3^{2} i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$243 + 1215 i + 270 (9 i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.9

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$243 + 1215 i + 270 (9 \cdot - 1) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.10

Умножим $270 (9 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$243 + 1215 i + 270 \cdot - 9 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.10.2

Умножим $270$ на $- 9$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 9 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.12

Умножим $10$ на $9$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.13

Применим правило умножения к $3 i$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (3^{3} i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.14

Возведем $3$ в степень $3$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.15

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.16

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.17

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.18

Умножим $- 1$ на $27$ .

$243 + 1215 i - 2430 + 90 (- 27 i) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.19

Умножим $- 27$ на $90$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.20

Умножим $5$ на $3$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.21

Применим правило умножения к $3 i$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (3^{4} i^{4}) + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.22

Возведем $3$ в степень $4$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 i^{4}) + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.23

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.23.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(i^{2})}^{2}) + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.23.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(- 1)}^{2}) + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.23.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 \cdot 1) + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.24

Умножим $15 (81 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1

Умножим $81$ на $1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 \cdot 81 + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.24.2

Умножим $15$ на $81$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + {(3 i)}^{5}$

Этап 2.1.25

Применим правило умножения к $3 i$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 3^{5} i^{5}$

Этап 2.1.26

Возведем $3$ в степень $5$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i^{5}$

Этап 2.1.27

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (i^{4} i)$

Этап 2.1.28

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.28.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(i^{2})}^{2} i)$

Этап 2.1.28.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(- 1)}^{2} i)$

Этап 2.1.28.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (1 i)$

Этап 2.1.29

Умножим $i$ на $1$ .

$243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $2430$ из $243$ .

$- 2187 + 1215 i - 2430 i + 1215 + 243 i$

Этап 2.2.2

Добавим $- 2187$ и $1215$ .

$- 972 + 1215 i - 2430 i + 243 i$

Этап 2.2.3

Вычтем $2430 i$ из $1215 i$ .

$- 972 - 1215 i + 243 i$

Этап 2.2.4

Добавим $- 1215 i$ и $243 i$ .

$- 972 - 972 i$

Этап 3

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 4

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 5

Подставим фактические значения $a = - 972$ и $b = - 972$ .

$| z | = \sqrt{{(- 972)}^{2} + {(- 972)}^{2}}$

Этап 6

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $- 972$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{944784 + {(- 972)}^{2}}$

Этап 6.2

Возведем $- 972$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{944784 + 944784}$

Этап 6.3

Добавим $944784$ и $944784$ .

$| z | = \sqrt{1889568}$

Этап 6.4

Перепишем $1889568$ в виде $972^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $944784$ из $1889568$ .

$| z | = \sqrt{944784 (2)}$

Этап 6.4.2

Перепишем $944784$ в виде $972^{2}$ .

$| z | = \sqrt{972^{2} \cdot 2}$

Этап 6.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$| z | = 972 \sqrt{2}$

Этап 7

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 972}{- 972})$

Этап 8

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 972}{- 972}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Этап 9

Подставим значения $θ = \frac{5 π}{4}$ и $| z | = 972 \sqrt{2}$ .

$972 \sqrt{2} (\cos (\frac{5 π}{4}) + i \sin (\frac{5 π}{4}))$