Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 4}{- 3 y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{- 3 y^{2}}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{y^{2} \cdot - 3}$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2} + 4}{y^{2} \cdot - 3}$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 4}{- 3}$

Этап 1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} + 4}{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 4}{3} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int x^{2} + 4 d x)$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\int x^{2} d x + \int 4 d x)$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 d x)$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 x + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + 4 x) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + 4 x) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.3.1

Умножим $\frac{x^{3}}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - \frac{1}{3} (4 x) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4

Умножим $- \frac{1}{3} (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - 4 (\frac{1}{3}) x + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} + \frac{- 4}{3} x + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4.3

Объединим $\frac{- 4}{3}$ и $x$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} + \frac{- 4 x}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9} - \frac{4 x}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3}}{9}) + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{3}}{9}$ в числитель.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{9} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3 (3)} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.3

Сократим общий множитель.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{3}}{3 \cdot 3} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.4

Перепишем это выражение.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 (- \frac{4 x}{3}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 x}{3}$ в числитель.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 \frac{- 4 x}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} + 3 \frac{- 4 x}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} = \frac{- x^{3}}{3} - 4 x + 3 K$

Этап 3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $- 4 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} - 4 x \cdot \frac{3}{3} + 3 K}$

Этап 3.4.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $- 4 x$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Этап 3.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Этап 3.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3} - 4 x \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) - 4 x \cdot 3}{3} + 3 K}$

Этап 3.4.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x \cdot 3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) + x (- 4 \cdot 3)}{3} + 3 K}$

Этап 3.4.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- x^{2}) + x (- 4 \cdot 3)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 4 \cdot 3)}{3} + 3 K}$

Этап 3.4.3.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + 3 K}$

Этап 3.4.4

Чтобы записать $3 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + 3 K \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.4.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Объединим $3 K$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12)}{3} + \frac{3 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2} - 12) + 3 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \sqrt[3]{\frac{x (- x^{2}) + x \cdot - 12 + 3 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + 3 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.6.3

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot x^{2} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.6.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- (x^{2} x) - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.6.4.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- (x^{2} x^{1}) - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.6.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{2 + 1} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.6.4.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 \cdot x + 3 K \cdot 3}{3}}$

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 3 K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.4.6.5

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 9 K}{3}}$

Этап 3.4.7

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{- x^{3} - 12 x + 9 K}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$

Этап 3.4.8

Умножим $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 3.4.9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 3.4.9.2

Возведем $\sqrt[3]{3}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 3.4.9.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.9.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Этап 3.4.9.5

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.9.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.9.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.9.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.9.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Этап 3.4.9.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Этап 3.4.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Этап 3.4.10.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- x^{3} - 12 x + 9 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

Этап 3.4.11

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- x^{3} - 12 x + 9 K) \cdot 9}}{3}$

Этап 3.4.11.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(- x^{3} - 12 x + 9 K) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (- x^{3} - 12 x + 9 K)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (- x^{3} - 12 x + K)}}{3}$