Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{\sin (x + 5)}{y})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Этап 1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = - \sin (x + 5)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = - \sin (x + 5) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - \sin (x + 5) d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \sin (x + 5) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \sin (x + 5) d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = x + 5$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = x + 5$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \sin (u) d u$

Этап 2.3.3

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \cos (u) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \cos (u) + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \cos (u) + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $\cos (u)$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \cos (u) + C_{2}$

Этап 2.3.5

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \cos (x + 5) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \cos (x + 5) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \cos (x + 5) + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{2 \cos (x + 5) + 2 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (x + 5) + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cos (x + 5)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5)) + 2 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5)) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\cos (x + 5)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$