Математический анализ Примеры

$(4 + x^{2}) d y + 4 d x = 0$

Этап 1

Вычтем $4 d x$ из обеих частей уравнения.

$(4 + x^{2}) d y = - 4 d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{4 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $4 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$1 d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{4 + x^{2}}$ и $- 4$ .

$1 d y = \frac{- 4}{4 + x^{2}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 d y = - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Этап 4.3.3

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Этап 4.3.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Этап 4.3.5.2

Перепишем $- 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ в виде $- 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.1

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.5.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.5.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.5.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.5.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.5.3.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.5.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Этап 4.3.5.4

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + K$