Математический анализ Примеры

$(t^{2} + 1) d t + (y^{2} + y) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(t^{2} + 1) d t$ из обеих частей уравнения.

$(y^{2} + y) d y = - (t^{2} + 1) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} + y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - (t^{2} + 1) d t$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - (t^{2} + 1) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- (t^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} - 1 \cdot 1 d t$

Этап 2.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} - 1 d t$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} d t + \int - 1 d t$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int t^{2} d t + \int - 1 d t$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 1 d t$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - t + C_{5}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - t + C_{5}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{3} t^{3} - t + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{3} t^{3} - t + K$